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Niveau Maths sup
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Démonstration "complexe"

Posté par
Shinoby
06-09-07 à 22:21

Bonsoir à tous ! je bloque sur cette démonstration  et je sais pas de quoi partir.

Montrer que pour tout z de module 1 mais différent de 1, le complexe i(1+z)/(1-z) est réel.


merci

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:30

ce qui reviens à montrer que ce complèxe est égale à son conjugué, faites alors la diffèrence et un simple calcule montre que cette différence est nulle puisque z*z(conjugué)=|z|^2=1 par hypothèse. Si c'est pas claire vous le dites.

Posté par
gui_tou
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:33

Re-

Citation :
Montrer que pour tout z de module 1 mais différent de 1


C'est-à-dire z=e^{i\theta} avec \theta \not=2k\pi k\in \mathbb{Z}

Ensuite, essaie de remplacer 1+z par une formule avec 1+e^{i\theta}= quelque chose avec \frac{\theta}{2}

En simplifiant etc on devrait montrer que le quotient est réel (Im(quotient)=0).

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:34

Je dois faire la différence entre le complexe et son conjugué ?

Posté par
john_kennedy
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:36

k appartenant à \mathbb{N} plutôt non?

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:41

je bloque a:

==> i(2cos²(a/2) + isin(a))/2sin²(a/2)

Posté par
gui_tou
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:42

Euh JFK je ne pense pas.

\theta peut s'écrire -4\pi, non ?

4$k\in \mathbb{Z}

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:42

C'est une méthode et y a pas beaucoup de calcul ou alors vous faites comme l'a dit gui_tou mais il faut justifier tout ce que vous écrivez

Posté par
john_kennedy
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:43

En posant \LARGE z = e^{ix} et en respectant la condition que t'as donné gui_tou, tu devrais t'en sortir sans trop de problèmes.

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:44

rectification !:


==> i(2cos²(a/2) + isin(a))/(2sin²(a/2)+isin(a/2))

Posté par
john_kennedy
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:44

gui_tou >> exact, je vais mettre ca sur le compte de la fatigue...

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:45

peux tu dvp ta méthode xyz19750 ? Avec ta méthode, je dois faire la diffénrece du complexe moins son conjugué ?

Posté par
gui_tou
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:46

Je suis en train de faire mon DM, et ca devient dur aussi

tiens nous au courant shinoby


Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:46

je suis bloqué la : i(2cos²(a/2) + isin(a))/(2sin²(a/2)+isin(a/2))

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:57

Je manipule pas bien LATEX donc je note z* le conjugué de z
\frac{i(1+z)}{1-z}-\frac{-i(1+z*)}{1-z*}=i\frac{(1+z)(1-z*)+(1-z)(1+z*)}{(1-z)(1-z*)}=i\frac{2-2zz*}{(1-z)(1-z*)} comme zz*=|z|^2=1 alors cette quantité est nulle. Est ce que vous avez des questions?

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:04

il suffit de bien manipuler les zz*.. cela dit, j'arrive pas à me débloquer avec l'autre méthode pour arriver à mes fins!  

donc comme la quantité est nulle, ce complexe est un réel .

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:06

Vous voulez que je développe l'autre méthode pas de pb?

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:07

oui par curiosité et bonne manipulation des formules trigo. merci bcp

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:23

On sait que
si z est un complexe de module 1 alors il s'écrit sous la forme exp(i) et comme vous avez supposé que z est différent de 1 alors 2k.
De plus on sait que 1-z qui est égale à 1-exp[i]=-2iexp[i/2]sin(/2) de même
1+z qui est égale à 1+exp[i]=2exp[i/2]cos(/2)
Il suffit alors de remplacer et de simplifier. Si c'est pas claire vous le dites.
J'ai du mal à écrire avec LateX

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:26

Remarque IMPORTANTE :
Si vous êtes en prepas en particulier on donne souvent les formules 1-z et 1+z avec z de module 1 et l'utilisation de la notation exponentielle est indisponsable et la connaissance des formules 1+z et 1-z en fonction de l'exponentielle est TRES importante.

Posté par
Shinoby
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:33

oui je suis en PCSI.


donc ce que j'avais fait ne doit pas etre faux... just que j'arrive plus à simplifier :

==> i(2cos²(a/2) + isin(a))/(2sin²(a/2)+isin(a/2))

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Démonstration "complexe". 06-09-07 à 23:36

Bonsoir ;

\fbox{*} On a \fbox{z\bar{z}=1} donc \fbox{Z=i\frac{1+z}{1-z}=i\frac{z\bar{z}+z}{z\bar{z}-z}=i\frac{\bar{z}+1}{\bar{z}-1}=\bar{Z}}.

\fbox{*} Si on note A , B et M les points d'affixes respectifs 1 , -1 et z on a :
\fbox{arg(Z)=arg(i\frac{1+z}{1-z})\equiv arg(i)+arg(\frac{1+z}{1-z})\equiv\frac{\pi}{2}+\bar{(\vec{MA},\vec{MB})}\hspace{5}[2\pi]}
et comme \fbox{\bar{(\vec{MA},\vec{MB})}\equiv\frac{\pi}{2}\hspace{5}[\pi]} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
xyz19750
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:42

Oui, ce que vous avez fait est juste sauf que dans le dénominateur vous obtenez ...+isin(a) et non pas ...+isin(a/2) : je continue votre réponse
comme sin(a)=2sin(a/2)cos(a/2), on remplace dans le numérateur et dans le dénominateur on aboutira au résultat.

Posté par
Dremi
re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:52

On a directement: pour |z|=1,\ z\not=1, i\frac{1+z}{1-z}=i\frac{(1+z)(1-\bar{z})}{|1-z|^2}=i\frac{1-|z|^2+z-\bar{z}}{|1-z|^2}=\frac{-2\,\text{Im}(z)\,}{|1-z|^2}\ \in\mathbb{R};
ou en polaires, pour z=e^{i\theta},\ \theta\in]-\pi,0[\cup]0,\pi], i\frac{1+z}{1-z}=i\frac{e^{-i\theta/2}\left(1+e^{i\theta}\right)}{e^{-i\theta/2}\left(1-e^{i\theta}\right)}=i\frac{e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}}=i\frac{2\cos(\theta/2)}{-2i\sin(\theta/2)}=-\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\ \in\mathbb{R}.

Posté par
jeanseb
re : Démonstration "complexe" 07-09-07 à 11:52

Bonjour

La méthode de Dremi est méga-hyper classique (donc importante), mais celle d'Elhor a vraiment la classe...

Posté par
cunctator
re : Démonstration "complexe" 07-09-07 à 20:23

Bonsoir
Est ce que vous pourriez me dire si cette démonstration est bonne.
A d'affixe 1, B d'affixe z, C d'affixe 1+z, D d'affixe 1 - z .
OACB est un losange car OA=OB=1
DOC est rectangle en O car (AB) // (OD) et de plus (OC) perpendiculaire à (AB)
Donc arg(1+z)/1-z = pi/2 ou -pi/2 selon la position de B
et i fois un imaginaire pur donne un réel.
Merci

Démonstration  complexe

Posté par
Dremi
re : Démonstration "complexe" 07-09-07 à 20:47

C'est juste.



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