Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Démonstration "complexe"

Posté par
Shinoby 06-09-07 à 22:21

Bonsoir à tous ! je bloque sur cette démonstration  et je sais pas de quoi partir.

Montrer que pour tout z de module 1 mais différent de 1, le complexe i(1+z)/(1-z) est réel.


merci

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:30

ce qui reviens à montrer que ce complèxe est égale à son conjugué, faites alors la diffèrence et un simple calcule montre que cette différence est nulle puisque z*z(conjugué)=|z|^2=1 par hypothèse. Si c'est pas claire vous le dites.

Posté par
gui_toure : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:33

Re-

Citation :
Montrer que pour tout z de module 1 mais différent de 1


C'est-à-dire z=e^{i\theta} avec \theta \not=2k\pi k\in \mathbb{Z}

Ensuite, essaie de remplacer 1+z par une formule avec 1+e^{i\theta}= quelque chose avec \frac{\theta}{2}

En simplifiant etc on devrait montrer que le quotient est réel (Im(quotient)=0).

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:34

Je dois faire la différence entre le complexe et son conjugué ?

Posté par
john_kennedyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:36

k appartenant à \mathbb{N} plutôt non?

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:41

je bloque a:

==> i(2cos²(a/2) + isin(a))/2sin²(a/2)

Posté par
gui_toure : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:42

Euh JFK je ne pense pas.

\theta peut s'écrire -4\pi, non ?

4$k\in \mathbb{Z}

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:42

C'est une méthode et y a pas beaucoup de calcul ou alors vous faites comme l'a dit gui_tou mais il faut justifier tout ce que vous écrivez

Posté par
john_kennedyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:43

En posant \LARGE z = e^{ix} et en respectant la condition que t'as donné gui_tou, tu devrais t'en sortir sans trop de problèmes.

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:44

rectification !:


==> i(2cos²(a/2) + isin(a))/(2sin²(a/2)+isin(a/2))

Posté par
john_kennedyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:44

gui_tou >> exact, je vais mettre ca sur le compte de la fatigue...

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:45

peux tu dvp ta méthode xyz19750 ? Avec ta méthode, je dois faire la diffénrece du complexe moins son conjugué ?

Posté par
gui_toure : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:46

Je suis en train de faire mon DM, et ca devient dur aussi

tiens nous au courant shinoby


Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:46

je suis bloqué la : i(2cos²(a/2) + isin(a))/(2sin²(a/2)+isin(a/2))

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 22:57

Je manipule pas bien LATEX donc je note z* le conjugué de z
\frac{i(1+z)}{1-z}-\frac{-i(1+z*)}{1-z*}=i\frac{(1+z)(1-z*)+(1-z)(1+z*)}{(1-z)(1-z*)}=i\frac{2-2zz*}{(1-z)(1-z*)} comme zz*=|z|^2=1 alors cette quantité est nulle. Est ce que vous avez des questions?

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:04

il suffit de bien manipuler les zz*.. cela dit, j'arrive pas à me débloquer avec l'autre méthode pour arriver à mes fins!  

donc comme la quantité est nulle, ce complexe est un réel .

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:06

Vous voulez que je développe l'autre méthode pas de pb?

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:07

oui par curiosité et bonne manipulation des formules trigo. merci bcp

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:23

On sait que
si z est un complexe de module 1 alors il s'écrit sous la forme exp(i) et comme vous avez supposé que z est différent de 1 alors 2k.
De plus on sait que 1-z qui est égale à 1-exp[i]=-2iexp[i/2]sin(/2) de même
1+z qui est égale à 1+exp[i]=2exp[i/2]cos(/2)
Il suffit alors de remplacer et de simplifier. Si c'est pas claire vous le dites.
J'ai du mal à écrire avec LateX

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:26

Remarque IMPORTANTE :
Si vous êtes en prepas en particulier on donne souvent les formules 1-z et 1+z avec z de module 1 et l'utilisation de la notation exponentielle est indisponsable et la connaissance des formules 1+z et 1-z en fonction de l'exponentielle est TRES importante.

Posté par
Shinobyre : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:33

oui je suis en PCSI.


donc ce que j'avais fait ne doit pas etre faux... just que j'arrive plus à simplifier :

==> i(2cos²(a/2) + isin(a))/(2sin²(a/2)+isin(a/2))

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Démonstration "complexe". 06-09-07 à 23:36

Bonsoir ;

\fbox{*} On a \fbox{z\bar{z}=1} donc \fbox{Z=i\frac{1+z}{1-z}=i\frac{z\bar{z}+z}{z\bar{z}-z}=i\frac{\bar{z}+1}{\bar{z}-1}=\bar{Z}}.

\fbox{*} Si on note A , B et M les points d'affixes respectifs 1 , -1 et z on a :
\fbox{arg(Z)=arg(i\frac{1+z}{1-z})\equiv arg(i)+arg(\frac{1+z}{1-z})\equiv\frac{\pi}{2}+\bar{(\vec{MA},\vec{MB})}\hspace{5}[2\pi]}
et comme \fbox{\bar{(\vec{MA},\vec{MB})}\equiv\frac{\pi}{2}\hspace{5}[\pi]} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
xyz19750re : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:42

Oui, ce que vous avez fait est juste sauf que dans le dénominateur vous obtenez ...+isin(a) et non pas ...+isin(a/2) : je continue votre réponse
comme sin(a)=2sin(a/2)cos(a/2), on remplace dans le numérateur et dans le dénominateur on aboutira au résultat.

Posté par
Dremire : Démonstration "complexe" 06-09-07 à 23:52

On a directement: pour |z|=1,\ z\not=1, i\frac{1+z}{1-z}=i\frac{(1+z)(1-\bar{z})}{|1-z|^2}=i\frac{1-|z|^2+z-\bar{z}}{|1-z|^2}=\frac{-2\,\text{Im}(z)\,}{|1-z|^2}\ \in\mathbb{R};
ou en polaires, pour z=e^{i\theta},\ \theta\in]-\pi,0[\cup]0,\pi], i\frac{1+z}{1-z}=i\frac{e^{-i\theta/2}\left(1+e^{i\theta}\right)}{e^{-i\theta/2}\left(1-e^{i\theta}\right)}=i\frac{e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}}=i\frac{2\cos(\theta/2)}{-2i\sin(\theta/2)}=-\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}\ \in\mathbb{R}.

Posté par
jeansebre : Démonstration "complexe" 07-09-07 à 11:52

Bonjour

La méthode de Dremi est méga-hyper classique (donc importante), mais celle d'Elhor a vraiment la classe...

Posté par
cunctatorre : Démonstration "complexe" 07-09-07 à 20:23

Bonsoir
Est ce que vous pourriez me dire si cette démonstration est bonne.
A d'affixe 1, B d'affixe z, C d'affixe 1+z, D d'affixe 1 - z .
OACB est un losange car OA=OB=1
DOC est rectangle en O car (AB) // (OD) et de plus (OC) perpendiculaire à (AB)
Donc arg(1+z)/1-z = pi/2 ou -pi/2 selon la position de B
et i fois un imaginaire pur donne un réel.
Merci

Démonstration complexe

Posté par
Dremire : Démonstration "complexe" 07-09-07 à 20:47

C'est juste.


cancel Le site a rencontré un problème temporaire.
Merci de retenter l'opération plus tard

Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île des mathématiques
© digiSchool 2026

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !