bonsoir,
mais ya pas de figure en desous de ton texe, a moins qu'elle soit ivisible

Bonjour,

Tu as oublié de nous envoyer l'image ! Et sans elle on va avoir du mal à comprendre le rôle joué par les acteurs de cet énoncé !

Désolé de ce petit oublie voilà l'image de la figure en question ( en esperant de ne pas etre passé pour un boulet )

J'ai reussi à trouver l'aire du triangle A2 : ([OI]x[IT])/ 2 car OIT est un triangle rectangle.

[OI] = 1 car rayon du cercle trigonometrique
[IT]= sin(x) fois OT

Donc Aire de OIT = 1(sin(x)fois OT) / 2


Par contre je n'arrive pas à trouver l'aire du triangle OIM
J'ai essayé de le séparer en deux trriangle rectangle OMC et CMI mais je ne connais aucun angle de CMI.

Pourriez vous m'aidez ?  

Et dans le triangle rectangle OIT (rectangle en I) Comment pourrais-tu trouver OT en fonction de x regarde avec sin(x) )?  ou cos(x) ? ou tan(x) ?

Le Triangle OMI a pour côté [OI] qui est un .... du cercle en question. Donc le triangle OMI est ... en ...

Merci de ton aide

J'ai reussi à calculer [OT] qui est egal à V[1+(sin(x)*TI)²] ou alors cos(x)/OI ou encore sin(x)/TI

Le triangle OMI est isocèle en O mais pour le calcul de l'aire il me faut une hauteur ce que je n'ai pas dans ma figure.

Concernant l'aire A du secteur de disque OIM ( la partie du disque comprise entre [OM) et [OI) ) je n'ai vraiment aucune idée de comment faire, la prof nous a donné comme indication que M est un point de ce cercle repéré par le reel x appartient à ]0,pi/2[ et que les vecteurs (OI,OM) =x (modulo2pi)
Je n'ai pas du tout vu la trigonométrie en seconde (prof parti en congé maternité) et la notion de "modulo" m'est totalement inconnu. Quelqu'un aurait-il des indices plus "concrets" pour m'aider ?

bonsoir,

J'ai pitié de toi:
Voici la formule qui te donnera l'aire d'un secteur circulaire en fonction du rayon  R et de l'angle au cente x:


    A=(1/2) R² x     Ici R=1 donc   A=(1/2)x

Pour retrouver cette formule: une simple régle de trois:


   à un angle au centre de 2correspond  R² (aire du disque)

   à un angle au centre de x correspond une aire de A


Donc (2)/x=R²)/A

égalité de deux rapport; tu peux en sortir la valeur de A en fonction de x....

Si un angle est égal à x(modulo 2pi) cela veut dire que =x+k(2pi) avec k

2pi représentant un tour complet sur le cercle trigo,

=x  ou =x+2pi  ou =x+4pi ou =x+6pi...

A chaque tour le point M de ta figure se retrouve à la même place sur le cercle trigo.

On traduit toutes ses possibilités par une seule formule:

=x+2kpi  k


(ou par un mot savant (modulo 2pi)

Merci beaucoup homere, grâce à toi la solution m'a paru évidente pour tout le problème !!

J'ai pu trouver toute les aires demandés et j'ai reussi à prouver que : sin(x)< x < tan(x) en multipliant par 2 chaque résultats trouvé précédemmment

Par contre j'ai un problème pour déduire depuis sin(x) < x < tan(x) que xcos(x)<sin(x)<x  

J'ai pu montrer que cos = sin/tan donc cos forcèment plus petit que sin mais je n'arrive pas à montrer cela pour x cos(x)

j'aurais dû remplacer   par .Le point M peut se déplacer ,sur le cercle, dans le sens trigo ou dans le sens inverse

Merci beaucoup pour ton petit cour sur le modulo ^^
Mais dans ma figure x (mod2pi) cela veut dire que peut importe "k" le point M ne changera jamais de place c'est ça ?

  


En partant de x < tanx x<sinx/cosx et en multipliant les deux membres par cosx strictement positif (pour ne pas changer le sens de l'inéquation) tu as:

   xcosx<sinx  et comme sinx < x  d'après la relation précédente...yu pourras conclure sans trop d'effort.


Passe une bonne nuit...

Exact; Le point M ne changera jamais de place sur le cercle trigo mais l'angle x ou l'arc associé peut prendre une infinité de valeurs. Ici cela n'a guère d'importance mais dans d'autre type d"exercice c'est parfois très utile

Je te remercie de tes conseils qui m'ont été très très utiles.

Mais j'aurai une autre question :
J'ai justifié que pour tout x de ]0;pi/2[
       cos(x)<sin(x)<1
Mais la question suivante me demande d'utiliser des propriété de parité et d'imparité pour montrer que cette équation reste vraie lorsque x est dans l'intervalle ]-pi/2 ;0[

J'ai tout d'abord dit que l'ensemble de défition est symétrique par rapport à 0 ]-pi/2 ; pi/2[

et que l'intervalle ]-pi/2 ; 0[ était l'image de l'intervalle ]pi/2 , 0[ par la symetrie d'axe 0 au sein du cercle trigonométrique

Cette justification est-elle suffisante ou faut-il develloper ?

ah désolé il y avait une erreur dans mon écriture c'est :

cos(x)< sin(x)/x < 1

Voilà ca devrait etre un beau encadrement là ^^

là, ça me parait possible!

une idée, pose x'=-x et donc x=-x'
si x est dans ]0;pi/2[ , trouve où se trouve x'
puis remplace x par -x' dans cos(x)< sin(x)/x < 1
ça devrait aller!

bonjour alankar,

Tu peux remarquer qu'en remplacant x par -x , ta dernière inégalité ne change pas .
En effet cos(-x)= cos(x)  (la fonction cosinus est une fonction paire) ,        
sin(-x)=-sin(x) (fonction impaire) mais le rapport sin(-x)/(-x) est donc égal à (-sin(x))/(-x) soit sin(x)/x.

La seule chose qui change c'est que si  x]0;/2[ alors -x]-/2;0[

Bonjour,

Merci de vos réponse qui m'ont bien aidé.

Mais j'aurai une nouvelle question :

je dois montrer que 1-cos(h)/h² = (sin(h)/h)² X 1/1+cos(h)

(Sin(h)/h)²=1 donc 1-cos(h)/h² = 1/1+cos(h)

Mais je n'arrive pas à aller plus loin. J'ai pensé à une formule telle sin²+cos²=1 car j'ai vu le (sin(h)/h)² mais cette piste ne m'a rien donné.

Quelqu'un aurait-il une petite piste ?                  

bonjour,

Tes questions sont sans fin ...Enfin.....

Je ne vois pas très bien tes relations. Et d'abord pourquoi (sin(h)/h)² est égal à 1 ??

Et d'abord il te faudrait soigneusement écrire tes relations avec des parenthèses et des crochets pour que ce soit bien clair. C'est frustant de plancher sur des relations fausses !!

Je dois monter que pour tout x de

on a : x

Voilà j'ai redigé en latex donc ça devrait etre plus clair.
Je précise que le x correspond à un fois dans cet équation

Et pour \frac{sinh^2}{h} = 1 je me suis trompé, c''est égal à 1 dans le cas où h tend vers 0. Désolé pour la confusion

C'ets bien mieux ainsi.

On part du premier membre et par des transformations successives on arrive au second.

Tu multiplie le premier membre ,haut et bas, par(1+cosh) ,tu obtiens:
[(1-cosh)(1+cosh)]/[h²(1+cosh]=[1-(cosh)²]/[h²(1+cosh)]

or 1-(cosh)²=(sinh)²

Je te laisse le soin de conclure...