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Démonstration d'une divisibilité par récurrence pour la spé
Bonjour, je dois démontrer par récurrence que 5^n-1 est divisible par 4 (de manière générale, on a déjà démontré que x^n-1 est divisible par x-1).
Pour démontrer le carcatère héréditaire de la propriété Pn : "4 divise 5^n-1" (pour l'initialisation je me débrouille toute seule), j'ai trouvé la formule : en posant k
, 5^(k+1) = 5(5^k-1)+(5-1). J'essaie de mettre 5-1, c'est-à-dire 4 en facteur (pour démontrer que 5^n-1 est bien un multiple de 4), mais je ne vois vraiment pas comment faire ! Est-ce que quelqu'un aurait une idée sur la question ?
Salut !
Bon, si tu arrives à tout faire jusqu'à l'hérédité, je reprends à partir de là.
Hérédité :
si pour un n fixé, 5^n - 1 est divisible par 4
montrons que : 5^(n+1) -1 est divisible par 4
Peuve : 5^(n+1) - 1 = 5^n x 5 -1
= 5^n (4 + 1) -1
= 4 x 5^n + (5^n -1)
Or, 4 x 5^n est divisible par 4 pour tout n de N
et de plus, (5^n -1) est divisible par 4 d'après l'hypothèse de récurence.
Voilà !
Bon week-end A+
C'est drôle, j'ai un problème du même genre à résoudre. Il faut prouver que pour tout entier naturel n, 7 divise 2^(3n) - 1. L'initialisation, pareil j'ai aucun problème, mais pour l'hérédité je sèche complètement...
@ devaster : c'est le même principe,
2^(3n+3)-1 = 2^3n x 2^3 -1
= 2^3n (7+1) -1
=..................
A toi de trouver la suite
Euh... quoique je suis pas sûr. Parce que mon but devrait être de prouver que ça reste valable au rang n+1 plutôt non ? et pas au rang n+3 :S.
lol j'ai fait vite, mais regarde, ça marche
tu as l'expression 2^3n tu parles donc du rang n maintenant, si tu parles du rang n+1n, tu remplaces n par n+1 ce qui te donne 2^[3(n+1)]tu développes et tu obtiens 2^(3n+3) non ?
Allez bon week-end !
oups pardon j'ai fait une erreur de frappe et je ne trouve pas l'outil éditer; ce n'est pas "si tu parles du rang n+1n" mais "si tu parles du rang n+1 !!
Désolé
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