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Démonstration d'une égalité de suite par récurrence
Bonjour, voici l'énoncé et quelques informations :
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, Sn=un
Sn = (1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(n(n+1))
Un = n/(n+1)
Après des recherches, j'ai remarqué que :
Sn+1=1/(n+2)(n+1) qui est égale au résultat de Un+1-Un. Mais je vous avoue que je ne sais pas comment utiliser cette information.
À partir de là, je suis bloqué, je ne sais pas comment démontrer l'égalité pourrais-je obtenir de l'aide s'il vous plaît ? Bonne journée.
Bonjour,
On te demande de montrer ça par récurrence.
Commence donc par vérifier cette égalité pour n=1.
Puis travaille sur l'hérédité 
Bonjour,
il faut faire une récurrence comme te le demande ton énoncé. Donc :
-initialisation (n=1)
-hérédité
-conclusion
1/k(k+1) pour k compris entre 1 et n 
Bonsoir à tous,
flight, stop ! Kernelpanic et sanantonio312 sont là d'une part, et ce que tu proposes ne répond pas à la demande de l'énoncé d'autre part
tu es vraiment coutumier du fait, 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci
la FAQ du forumBonsoir, excusez moi pour la réponse tardive. C'est la première fois que je poste donc je vous avoue que je ne m'attendais pas du tout à une telle rapidité pour les réponses 
j'ai bien compris les étapes à faire, mais je ne sais pas trop comment faire dans le cas d'une égalité de suite. Je vais quand même essayer de vous faire une démonstration selon mon résonnement, mais je ne pense pas que c'est ce que je dois faire 
Initialisation : on vérifie la propriété au 1er ordre possible :
S1 = 1/(1x2) = 1/2
U1 = 1/(1+1) = 1/2
Hérédité : on suppose la propriété vraie à l'ordre k :
Sk = 1/k(k+1) -> | hypothèse de
Uk = k/k+1 -> | récurrence
On démontre la propriété à l'ordre k+1 :
et à partir de là, je ne suis pas bien sûr de ce que je dois faire.
1/(k+1)(k+2) = (k+1)/(k+2)
Mais je ne sais pas comment procéder.
En l'absence de sanantonio312 et de Kernelpanic
initialisation : OK
hérédité
supposons qu'il existe k entier (supérieur ou égal à 1) tel que
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) = k/(k+1)
alors
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = .......et à la fin de ta démonstration tu dois réussir à montrer que la quantité trouvée peut s'écrire (k+1)/((k+1)+1)
je te conseille ce fichier : Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
bonne soirée 
Hérédité :
supposons qu'il existe k entier (supérieur ou égal à 1) tel que
1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) = k/(k+1)
alors
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = (k+1)/(k+2) [ remplacement de k par k+1 ]
Ici, je devrais utiliser l'expression :
1+2+3+..+n = n(n+1)/2
en replacement donc les n par 1/(k+1)(k+2) pour le calcul de Sn+1 = Un+1
Et finaliser par prouver que (k+1)/(k+2) = Sn+1 ?
reBonjour
je n'aime pas ta manière d'écrire les choses, je préférais la mienne
En l'absence de sanantonio312 et de Kernelpanic
initialisation : OK
hérédité
supposons qu'il existe k entier (supérieur ou égal à 1) tel que
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) = k/(k+1)
alors
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = k/(k+1)+1/((k+1)(k+2)) en utilisant l'hypothèse écrite au dessus
et là tu n'as plus qu'à travailler sur cette somme pour l'écrire comme désirée
tu dois absolument éviter d'écrire l'égalité recherchée tant que tu ne l'as pas démontrée tu l'écris dans un coin de ta feuille pour savoir où tu désires aboutir, mais surtout pas au sein de ta démonstration)
y vois-tu plus clair ?
ReBonjour,
J'ai travailler dessus et je pense y être aboutit en suivant vos conseils :
Initialisation: On vérifie la propriété vraie au 1er ordre possible
S1 = 1/(1x2) = 1/2
U1 = 1/(1+1) = 1/2
Hérédité: On suppose la propriété vraie à l'ordre k un entier naturelle
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) = k/(k+1)
On démontre que la propriété est vraie à l'ordre k+1, c'est à dire:
k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
Calculs :
k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
= (k(k+2))/((k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2))
= (k(k+2)+1)/((k+1)(k+2))
=(k^2+2k+1)/((k+1)(k+2))
=((k+1)^2)/((k+1)(k+2))
=(k+1)/(k+2)
Conclusion:
Pour tous entier naturel non nul n, Sn = Un
C'est exact ?
oui, a priori, bien, sauf la rédaction de l'hérédité
Hérédité: On suppose la propriété vraie à l'ordre k un entier naturel
supposons qu'il existe k entier (supérieur ou égal à 1) tel que
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) = k/(k+1)
alors
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)) = k/(k+1)+1/((k+1)(k+2))=k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
= (k(k+2))/((k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2))
= (k(k+2)+1)/((k+1)(k+2))
=(k^2+2k+1)/((k+1)(k+2))
=((k+1)^2)/((k+1)(k+2))
=(k+1)/(k+2) = (k+1)/((k+1)+1)
donc la propriété est vraie à l'ordre k+1
(1/(1*2))+(1/(2*3))+...+(1/(k(k+1)) = k/(k+1)
On démontre que la propriété est vraie à l'ordre k+1, c'est à dire:
k/(k+1) + 1/((k+1)(k+2))
voilà je crois que maintenant tu y es !
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