bonjour ,
et pourquoi tu ne pourrai pas utiliser une démonstration par récurrence (forte bien sûre )? il te suffit de supposer deux valeur et
ainsi tu as tes deux premiers termes

tu en penses quoi?

Je vais essayer en faisant comme ça.  Merci

pas de quoi

Salut !

C'est un peu logique, nan ?
On définit un terme en fonction des deux précédents. Si l'on ne dispose pas des deux premiers termes, ou bien seulement d'un, comment alors faire pour définir la suite ...

Exemple :
     définie par :
    
    pour tout entier naturel ,

Cette suite n'est pas définie : d'une part, que vaut ? et d'autre part, comment définir les autres termes ?
Pas besoin d'aller loin : comment calculer ( il nous manque ) ?

On voit que l'on a absolument besoin des deux premiers termes.

Pour une suite définie par :
    
il nous faut , et .

Etc.

N_comme_Nul,
j'adore le On voit que l'on a absolument besoin des deux premiers termes

c'est le truc typique qu'il ne faut pas mettre dans une démonstration, parce qu'en maths on ne voit rien (surtout les aveugles), on démontre.

Muriel : c'est comme les écrivains, on peut se permettre de petites entorces (quel est le prof de fac qui n'a jamais dit ça ?)

non, je ne crois pas, surtout pas au secondaire, cela passe difficilement à mon avis.
surtout en maths, parce que dans ce cas, on voit tout et n'importe quoi
personnellement, j'ai un élève qui m'écrit "on voit que ...", je lui réponds "je voit surtout qu'il n'y a pas tous les points."

je pense que cela manque de rigueur.
d'autre part, ce n'est pas parce qu'un prof de fac écrit cela qu'il faut le faire, surtout quand général, dans les partiels, ils n'aprécient guère.
moi, je pense que ce n'est pas parce qu'une personne fait le pitre, que je dois le faire.

Beaucoup de profs (éminents) de fac sont des pitres alors ... à chacun son point de vue.
C'est comme en français : on ne peut faire de répétitions, mais un écrivain qui en fait, c'est une figure de style ... va expliquer ça aux élèves.

en privé merci

Ici aussi cela "aide" de voir sur un exemple (cf mon post de [18:33]). (ce n'est pas du HS là)

oui, on remarque qu'avec une seule donnée, cela ne suffit pas, mais avec deux, il faut le démontrer

Où vois-tu que j'ai dit qu'il ne fallait pas faire de démonstration ?

t'as façon de dire c'est logique, et le fait de ta réponse, donnes l'impression que cela suffit (je te le dis en connaissance de cause )
c'est pour cela que je suis intervenu dans ce sens, en appuyant sur le fait qu'il ne suffit pas de voir avec un exemple que cela fonctionne ou pas, mais qu'il est important de démontrer les choses clairement.
dans ton message, tu sous entendais que ce que tu as écrit n'avait pas besoin de faire une démonstration par récurrence.
alors qu'ici, je ne crois pas qu'on puisse le faire autrement.

maintenant, si c'était juste pour dire que c'est logique, mais qu'il fallait faire une démonstration qu'en même, je ne vois pas beaucoup l'intérêt d'avoir rajouter le message de 18:33.

Au fait, elle en est où, Audrey ?

Je clos ici la conversation.

Mes illustrations sont manifestement non comprises/mal interprétées.
Je ne donne pas toujours les solutions au problème posé; une mauvaise interprétation serait de croire que mes posts sont des réponses "toutes cuites" à avaler telles qu'offertes. Mes posts s'attachent parfois aussi à des aspects connexes directement liés à la question.
Et, à ce que je sache, ce n'est pas un forum "pose-moi ta question, je vais te donner la réponse à recopier sur ta copie".

"maintenant, si c'était juste pour dire que c'est logique, mais qu'il fallait faire une démonstration qu'en même, je ne vois pas beaucoup l'intérêt d'avoir rajouter le message de 18:33." : ça, c'est du HS.

A plus sur l'.

alors me revoilà!
j'ai posé U₀=1, U₁=2, a =2 et b=3.
Par conséquent j'obtiens U₂=7.

mon étape d'initialisation marche.
pour l'hérédité j'obtiens:
U_n+3=aU_n+2+b U_n+1
U_n+3=a ( aU_n+1 + bU_n)+b U_n+1
U_n+3=a² U_n+1 +bU_n+ b U_n+1
U_n+3=a U_n+2+b U_n+1
donc l'héridité est vérifiée. J'ai tout démontrer!
Merci

C'est quoi ces "" ?

Audrey, non.
1) Tu ne dois pas choisir une valeur de u0 u1 a et b.
2) Tes 4 lignes de calcul bouclent entre elles.

Quelle est la propriété P(n) qu'il faut montrer par récurrence ?

P(n) : "U(n) est parfaitement déterminée".
C'est-à-dire : "U(n) a une valeur que je peux calculer"

P(0) et P(1) sont vraies d'après l'énoncé, puisque on suppose justement les deux premiers termes donnés.

Reste à montrer que P(n) et P(n+1) => P(n+2)

Supposons P(n) et P(n+1) vraies, c'est-à-dire que U(n) et U(n+1) sont déterminées (= je connais leur valeur).
On sait que U(n+2)=aU(n+1)+bU(n).
Donc U(n+2) est déterminée (= je peux calculer sa valeur).
P(n+2) vraie.

Donc, par récurrence, P(n) est vraie pour tout n.

Je me rends compte que je n'ai pas utilisé b<>0. Il doit y avoir une imprécision qqpart dans mon raisonnement. En tout cas, l'idée générale me semble y être.

muriel, si tu as le temps et l'envie, peux-tu améliorer mes explications, et nous éclairer sur ce b<>0. Il ne me semble pas indispensable.

le fait que b0, c'est pour utiliser une récurrence forte:
P(n) : pour tout les k n, " est parfaitement déterminée".

et ici, on suppose que P(n) est vérifiée, et on montre que P(n+1) est vérifiée

sinon, on peut faire aussi ainsi:
P(n) : "U(n) est parfaitement déterminée".
et on suppose que jusqu'à n, la propriété est vérifiée

c'était ce que j'étais entrain de faire, Nicolas_75

mais bon, faut il que je mette toute la démonstration?

j'avoue que je serai interressé par toute la démonstration puisque la mienne est fausse.si c'est possible bien sûr! merci

ok

on veut montrer cela:
soit a et b deux réels tel que b 0
la suite définie par:
et deux réels donnés
pour tout n
est entièrement définie.

pour cela, on va raisonner par récurrence, c'est à dire on va montrer que pour tout n, est un réel
et sont des réels par définitions.

on suppose que jusqu'à un entier n donné appartenant à (c'est à dire ), est réel.
on va démontrer que est réel.
or on a:
a et b sont réels par définitions
et sont réels par hypothèse de récurrence
donc est un réel.

donc pour tout n de IN, est réel.
___________________________
comme je le disais, la propriété b0 sert à définir une suite avec avant dernier terme.

autre remarque: tu peux aussi supposer que:
on suppose que jusqu'à un entier n+1 donné appartenant à , est réel.
on va démontrer que est réel.
or on a:
a et b sont réels par définitions
et sont réels par hypothèse de récurrence
donc est un réel.

cela évite d'avoir à retirer 0 dans la supposition

voilà

Muriel, merci !

Audrey, je crois que tu étais mal partie dans ta démonstration... parce que tu n'étais pas claire sur ce que tu voulais démontrer
Apparemment, tu voulais démontrer quelque chose comme :
P(n) : "Un+2 = a * Un+1 +b * Un" vraie pour tout n, ce que nous savons déjà, puisque c'est la définition de la suite.
En fait, l'énoncé nous demandait : "démontrer qu'une suite Un [...] est parfaitement déterminée par la donnée de ses deux premiers termes."
Moralité : avant de démarrer la démonstration, bien comprendre ce dont on dispose, et ce qu'on veut démontrer. Souvent, le lien avec le cours apparait immédiatement

Courage,

Nicolas

de rien

pour Audreys, entièrement d'accord avec Nicolas_75