Bonjour,

L'ensemble des n racines n-ièmes de l'unité est

Et

Sans utiliser les racines de l'unité : on peut aussi raisonner par module-argument :

Cela veut dire que ((z-1)/z)ⁿ=(e^i2k/n)ⁿ=1 ?
Je peux aussi faire  e^i2k/n=1-(1/R)e^-i ?
(Je crois m'être trompée au niveau du 1/R au précédent poste)

Aussi, j'ai du mal à comprendre le "résoudre"; est-ce qu'il faut partir ((z-1)/z)ⁿ pour arriver à 1, ou est-ce qu'il faut partir de 1, ou bien utiliser la partie droite et gauche de l'équation pour trouver z ? (Je parle en général aussi, quand on a une question du type "résoudre cette équation dans *")

Up!

Up!

Résoudre une équation dans c'est tous les éléments de   qui vérifient l'équation, c'est à dire trouver , où (E) est l'équation.

Tu sais que les solutions de sont tous les éléments de , donc en effectuant le changement de variable tu devrais arriver aux solutions.

Merci pour la définition !

En faisant un changement de variable (Z=(z+1)/z), j'obtiens Z = e^i2k/n = (z-1)/z
                                                                                   e^i2k/n=1-(1/z)
                                                                             e^i2k/n - e⁰= -1/z

z= -e⁰ / (e^i2k/n - e⁰) = -1/(e^i2k/n -1)
                
Est-ce bon ?                                            

Oui, cela me semble juste. Une subtilité cependant : quand on passe à l'inverse, k ne varie plus dans [[1, n]] mais dans [[1, n-1]] (on ne peut pas diviser par 0). Il faut donc regarder "à la main" si pour k = n, l'équation est vérifiée. Par ailleurs, le résultat final peut sûrement être mis de manière plus "jolie", avec la formule de l'angle moitié de manière à avoir du .
N'oublie pas de dire, à chaque ligne, dans quel ensemble k varie.

En revérifiant (en remplacant donc z dans l'équation de départ par ce que j'ai trouvé), je me retrouve avec (e^i2k/n-1)ⁿ

Tu as dû te tromper dans ta vérification, cela semble bien être les solutions :

Pour la variation de k, c'est aussi ce que je me disait, "pour tout k n" sinon on se retrouve avec 1-1 (je n'étais pas sûre de pouvoir changer de domaine de définition de k en pleine équation)

Pour ce qui est de l'angle moitié, je viens d'en voir la formule sur wikipedia et je ne vois pas par quoi remplacer x (z peut-être ? nous n'avons pas encore abordé l'angle moitié)

Effectivement, je viens de me rendre compte que j'ai oublié un (-1) dans la revérification, merci !

Pour la simplification,
(Se vérifie aisément avec les formules d'Euler)

Cela permet notamment de n'avoir plus que des produits, ce qui peut simplifier pas mal de choses pour la suite de l'exercice.

Oui, j'ai déjà simplifié quelque chose de ce genre,
En tout cas, merci pour vôtre aide !