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Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore

Posté par
SugarCane
30-12-12 à 12:52

Bonjour à tous,

J'ai un DM à faire pour la rentrée et je ne sais pas comment commencer :

On dispose quatre reproductions d'un triangle rectangle (b²+c²=a²) sur chacun des deux carrés de côté b+c.
a. Quelle est la nature de chacun des trois quadrilatères ? On constate que ce sont des carrés mais comment le démontrer ?
b. Expliquer pourquoi l'aire du quadrilatère bleu de la figure 1 est = à la somme des aires des quadrilatères de la figure 2.
Merci à toutes et tous pour votre coup de main.

Posté par
plumemeteore
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 13:38

Bonjour Sugar Cane.
Pourrais-tu scanner et envoyer la figure ? Ou la décrire exactement ?

Posté par
SugarCane
Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 14:19

Bonjour plumemeteore,

je m'excuse j'aurai du l'insérer avant. J'arrive à faire la question b mais je ne vois pas comment expliquer que les quadrilatères bleus sont des carrés. Est-ce qu'il faut que je le démontre par les diagonales ? Ou un angle droit ? On voit bien que les côtés sont égaux mais cela ne suffit pas... Merci

Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore

Posté par
Fabichou
Réponse à sugarcane 30-12-12 à 15:06

Slt SugarCane as-tu des longueurs de données ?

Posté par
SugarCane
Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 15:37

Bonjour Fabichou,

Non il n'y a pas de longueurs, juste a,b et c. On voit bien où l'exo nous mène puisque l'aire du quadrilatère fig1 = a² et que la somme des aires des quadrilatères fig2 = b²+c², conclusion on démontre bien la propriété du théorème de Pythagore par le calcul des aires, ça ok j'ai bien compris.
Ce qui me pose problème c'est a. mon prof est pointilleux et demande des démonstrations complètes et à part dire que dans un carré un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueurs est un carré ? Pourquoi pas un losange aussi ? je sais que le carré est un losange particulier... alors comment expliquer la nature des quadrilatères ? Dans la fig2 c'est plus simple, l'angle droit s'impose donc facile à démontrer. Suis-je sur la bonne piste ?

Posté par
Fabichou
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 15:47

Pour la figure 2 tu as comme tu le dit un angle droit donc c'est sur que c'est facile à démontrer mais pour la figure 1 il faut que tu calcule l'hypotenuse de tout les triangles rectangles qu'il a autour du "carrė" et tu aura les longueurs et se sont les même tu sera que c'est un carrė . J'ai ėtė assez claire ?

Posté par
SugarCane
Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 15:51

Ok ça aussi j'avais compris, on voit bien sur la fig que a est l'hypoténuse des 4 triangles rectangles, donc 4 côtés égaux, seulement pour que je puisse affirmer que c'est bien un carré (et non pas un losange qui lui aussi a 4 côtés égaux) il faut soit que je démontre qu'il y a un angle droit ou avec les diagonales ? mais....

Posté par
Fabichou
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 15:58

Tu as a comme longueur donc comme tu vient de me le dire ce pourrait être aussi un losange . Pour savoir si c'est un carré il faut que tu utilise le réciproque du théorème de pythagore . Tu connais ?

Posté par
SugarCane
Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 16:04

oui mais l'utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu'un triangle DONT ON CONNAIT LES LONGUEURS DES 3 COTES est rectangle. Donc ?

Posté par
Fabichou
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 16:07

A oui ok . Tu m'as dit que tu connaissait a ?

Posté par
SugarCane
Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 16:11

ok j'explique, même si je trace une des diagonales du quadrilatère fig1 et que je nomme ce côté d, je ne peux pas justifier que d²= a²+a² donc je ne peux pas démontrer que le triangle est rectangle...

Posté par
Fabichou
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 16:14

À oui . Excuse moi je ne plus t'aider car je n'ai plus de solution . Bonne fin de dimanche et bonne fin d'exo ˆ´

Posté par
SugarCane
Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 16:23

ok, je crois que j'ai trouvé sur la fig1 l'aire du quadrilatère = a² or c'est la formule de calcul de l'aire d'un carré, celle du losange est différente, je vais partir la-dessus, merci à tous.

Posté par
Fabichou
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 30-12-12 à 18:00

Pas de problème derien . Oui je pense aussi que tu a raison

Posté par
plumemeteore
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 31-12-12 à 10:45

Bonjour Sugar Cane et Fabichou.
On ne peut pas utiliser ici le théorème de Pythagore ni sa réciproque, puisque c'est justement ce théorème qu'il faut démontrer.

Dans la figure de gauche, le quadrilatère bleu a ses côtés égaux, car ils sont les hypoténuses de triangles ayant les côtés de l'angle droit égaux chacun à chacun. En effet, on peut superposer exactement de tels triangles (en les déplaçant), ce qui montre que leurs hypoténuses sont égales. Le quadrilatère bleu est donc un losange.
Les angles aigus de ces triangles sont aussi aigus chacun à chacun.
Soient E le sommet en haut du quadrilatère, D le sommet à en haut à gauche du grand carré, F le sommet en haut à droite du grand carré, G le troisième sommet du triangle rectangle en haut à gauche, H le troisième sommet du triangle rectangle en haut à droite.
Angle GED + angle EGD = 90°. Or angle HEF = angle EGD, car dans leurs triangles rectangles égaux respectifs, ils sont tous deux opposés au côté de longueur c. Donc angle GED + angle HEF = 90°
Angle GEH = 180° - (angle GED + angle HEF) = 180° - 90° = 90°.
Le losange bleu ayant un angle droit, il est un carré de côté a.
Le carré de côté a est obtenu en ôtant au carré de côté b+c quatre triangles rectangles de côtés d'angle droit b et c.

Dans la figure de droite, il y a neuf points sommets de quadrilatères. Nommons les neuf points de gauche à droite et de haut en bas (comme dans le sens de la lecture d'un texte, I, J, K, L, M, N, O, P, Q.
Les angles en I, K, O, Q, N et P sont droits.
Le quadrilatère MNPQ, en bas à droite à trois angles droits. Son quatrième angle M  est droit. On en conclut que l'angle J du quadrilatère JKNM et l'angle L du quadrilatère LMPO sont droits. Le carré est divisé en quatre rectangles.
Les côtés horizontaux des deux rectangles de gauche et les côtés verticaux des deux rectangles du bas sont tous égaux à c. Les côtés horizontaux des deux rectangles de droite et les côtés verticaux des deux rectangles du haut sont tous égaux à b.
LMPO est donc un carré de côté C, et JKNM est un carré de côté B. Les quatre triangles MJI, ILM, MNQ et QPM sont des triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit sont B et C.
L'ensemble constitué par les carrés de côtés respectifs b et c est obtenu en ôtant au carré de côté b+c quatre triangles rectangles de côtés d'angle droit b et c.

L'aire du carré de côté a et la somme des aires des carrés de côtés b et c sont toutes deux égales à l'aire du carré de côté b+c moins quatre fois l'aire du triangle rectangle de côtés de l'angle droit b et c. Elles sont donc égales entre elles : a² = b²+c².

Posté par
Fabichou
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 31-12-12 à 12:39

À ok je n'aurais pas pensé cela

Posté par
pauluslaius
re : Démonstration de la propriété du théorème de Pythagore 16-04-20 à 21:10

Votre prof a raison de vous demander de démontrer que les quadrilatères dans les deux figures sont bien des carrés. Pour le démontrer pour le carré des hypothénuses dans la figure de gauche, on peut utiliser la propriété des carrés d'avoir (comme les rectangles) des diagonales égales mais en plus,  d'avoir leurs quatre côtés égaux. Ces deux propriétés suffisent pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré. Les quatre côtés égaux, c'est évident, mais comment démontrer que les diagonales sont égales ? C'est simple, si on revient à la définition générale de l'égalité de deux figures (quelconques !) : elles sont égales si on arrive à les superposer. Et en effet, si on prend la figure de gauche et qu'on la fait tourner de 90° (à droite ou à gauche), on peut la superposer sur elle même. Mais dans cette rotation on a échangé les diagonales du carré des hypothénuses, et donc puisqu'elles se superposent, elles sont égales ; CQFD



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