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Démonstration de trigonométrie

Posté par
Vinicius
09-02-23 à 21:26

Bonjour je me suis bloqué sur cette question

Soit ABC un triangle non aplati.
1) Établir que :

tanA^+tanB^=sin2C^/2cosA^×cosB^×cosC^       puis énoncer les deux autres égalités analogues.

A^ veut dire l'angle A

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 09-02-23 à 21:36

Bonsoir,

es-tu sûr qu'il ne manque pas de parenthèses dans ton énoncé?

P.S. :tu peux noter les angles sans 'ton ^'

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 09-02-23 à 21:40

Des parenthèses où là

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 09-02-23 à 21:50


tel quel , ça signifie : tan(A)+tan(B)=\dfrac{sin(2\,C)}{2}\,cos(A)cos(B)cos(C)

est-ce bien correct?

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 09-02-23 à 23:14

Non c'est plutôt :

tanA+tanB=sin2C/(2cosA×cosB×cosC)

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 08:10

tu vois que les parenthèses sont indispensables

utilise le fait que la somme des angles d'un triangle vaut ?? d'où C=??

ensuite, remplace C par sa valeur dans le second membre

je te laisse compléter les ??

Posté par
pgeod
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 10:36

Bonjour,
Il peut être judicieux de commencer par développer sin(2C).

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 10:43

Bonjour pgeod

c'était mon idée aussi, mais j'aurais préféré que Vinicuis le remarque

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 14:36

Est que l'énoncé n'aurait pas préféré que l'on résonne avec le premier membre pour aboutir au second ?

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 15:01

non transforme d'abord le 2d membre et c'est presque immédiat

Posté par
malou Webmaster
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 15:04

Bonjour

Vinicius @ 10-02-2023 à 14:36

Est que l'énoncé n'aurait pas préféré que l'on raisonne avec le premier membre pour aboutir au second ?


Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 15:13


Bonjour malou,

Euh oui!

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 15:17

Voilà ce que j'ai essayé

A+B+C=π  <=>C=π-(A+B)

sin2(π-(A+B))/(2cosA×cosB×cos(π-(A+B))
=sin2(A+B)/(2cosA×cosB×-cos(A+B))

Je ne sais plus quoi faire

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 10-02-23 à 17:17

ce que tu as écrit n'est pas faux, mais commence par remplacer sin(2C) en fonction de sin(C) au numérateur et garde cos(C) au dénominateur

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 15-02-23 à 21:16

Ça donne :

2sinCcosC/(2cosA.cosB.cosC)

=sinCcosC/CosA.cosB.cosC

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration de trigonométrie 15-02-23 à 22:35

bonsoir,

un peu de prise d'initiative !

sinCcosC/(cosA.cosB.cosC)

et maintenant seulement C = pi-(A+B)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration de trigonométrie 16-02-23 à 07:28

Bonjour,
Aux intervenants autres que Vinicius,
Que se passe-t-il si le triangle ABC est rectangle ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration de trigonométrie 16-02-23 à 07:58

Bonjour Sylvieg
il est certain qu'il faudrait en plus du calcul proprement dit discuter de la validité de cette formule si une tangente n'est pas définie ou un cosinus nul pour cause d'angle droit quelque part ...
ça peut se faire dès le début ou en cours de route ou après les calculs du "cas général".

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 16-02-23 à 18:11

Bonjour,

@Sylvieg

je suis tout à fait d'accord dans le cas d'une résolution d'équation  mais quand on demande de vérifier une égalité on remarque que souvent on ne se préoccupe pas des conditions d'existence.

Je me suis toujours demandé si on devait procéder comme dans le cas d'une résolution d'équation?

Merci d'avance de donner ton avis à ce sujet

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration de trigonométrie 16-02-23 à 18:35

à mon avis il s'agit de la traque aux énoncés mal conçus

que ce soit une équation ou une relation, les conditions pour lesquelles ce qu'on écrit, quoi que ce soit, a un sens doivent toujours être précisées,
Dans l'énoncé, ou à chercher soi même, au pire "sous entendues"
sinon on démontre trop facilement que 0 = 1, célèbre "démonstration"...

en tout cas l'exo n'est pas terminé et restons dessus
(on attend la suite des calculs par le demandeur)
sans insister sur cette "digression".
.

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 16-02-23 à 23:42

Bonsoir

Par la suite on

sinCcosC/CosA.cosB.cosC
=sinC/cosAcosB
=sin[π—(A+B)]/cosA.cosB
=sin(A+B)/cosA.cosB

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 17-02-23 à 07:19

il manque les parenthèses indispensables, comme déjà dit!!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Démonstration de trigonométrie 17-02-23 à 08:26

rappel de 5ème sur la priorité des opérations

AB/CD = A \times B / C \times D =  \dfrac{A \times B}{ C}\times D

\dfrac{A \times B}{ C\times D} = AB/{\red(}CD{\red)} \\

A+B/CD = A + B / C \times D =  A+ \left(\dfrac{B}{ C}\times D\right)

 \dfrac{A+B}{ C\times D} = {\red (}A+B{\red)}/{\red(}CD{\red)}

etc
que les multiplications soient "explicites" AB ou "implicites" AB n'y change rien et des espaces non plus

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 17-02-23 à 22:22

On a :
sin(A+B)/(CosA.cosB)

Ensuite je ne sais pas comment tirer
tanA+tanB

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 17-02-23 à 22:28

développe sin(A+B)

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 19-02-23 à 00:40

Par la suite on a :
(sinA.cosB+cosA.sinB)/(cosA.cosB)

=[(sinA.cosB)/(cosA.cosB)+(cosA.sinB)/cosA.cosB)]

Si on simplifie on aura :
(sinA/cosA)+(sinB/cosB)
=tanA+tanB

Pour les deux autres égalités analogues on a :

tanA+tanC=sin2B/(2CosA.cosB.coC)
Et : tanB+tanC=sin2A/(2CosA.cosB.coC)

Je crois que c'est gagné

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 19-02-23 à 07:53

petite coquilles

Citation :
tanA+tanC=sin2B/(2CosA.cosB.cosC)
Et : tanB+tanC=sin2A/(2CosA.cosB.cosC)

P.S.: tu devrais quand même voir avec ton prof si tu ne dois pas tenir compte des conditions d'existence comme dans le cas de la résolution d'une équation

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démonstration de trigonométrie 19-02-23 à 08:48

Mon avis maintenant que l'exercice semble terminé :
Il aurait fallu remplacer "non aplati" par "non rectangle" dans l'énoncé

On ne démontre pas ni n'utilise une égalité contenant au moins une variable sans préciser où elle est valable.
Que dirait-on d'un élève qui remplacerait x par \left( \sqrt{x}\right)^{2} alors que x peut être négatif ?

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 19-02-23 à 09:29

Bonjour Sylvieg et merci.

Posté par
Vinicius
re : Démonstration de trigonométrie 19-02-23 à 19:18

Vraiment merci Pirho pour le temps que tu as pris pour m'aider 🙏🙏

Posté par
Pirho
re : Démonstration de trigonométrie 19-02-23 à 22:19

de rien; mais n'oublie pas la remarque de Sylvieg



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