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Niveau quatrième
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démonstration du théorème de pythagore

Posté par
basilette14
11-10-14 à 12:10

Bonjour,
je n'arrive pas à aider mon frère qui est en 4èmè pour son DM de maths. Pourriez vous nous aider?

1/A partir de 4 triangles rectangles identiques, on obtient la figure ci-dessous, sur laquelle les points A,M,B sont alignés de même que les points B,N,C, de même que les points C,O,D de même que les points D,P,A.
On notera a la longueur commune des segments [MB],[NC],[OD] et [PA].
On notera b la longueur commune des segments [AM],[BN],[CO] et [DP].
On notera c la longueur commune des segments [mn],[NO],[OP] et [PM]
calculer l'aire du quadrilatère MNOP.

2/On dispose maintenant les quatre triangles rectangles comme sur la figure ci-dessous
afin que EFGH soit un carré.
Comparer la somme des aires des quadrilatères bleu et vert à l'aire du quadrilatère MNOP.

merci pour votre aide

Posté par
soria
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 12:38

Je ne peut pas trop t'aider mais la definition du théorème de Pythagore c'est  SI UN TRIANGLE ET RECTANGLE ALORS LE CARRÉ DE L'HYPOTENUSE ET EGALE AU CARRÉ DES DEUX AUTRES CARRÉ.  voila je peux pas taider plus.

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:05

bonjour basilette14,

peux tu transmettre les figures, ou en donner une description plus précise ?

A soria : dommage que tu répondes pour dire que tu ne peux pas aider : le topic disparaît de la liste des topics sans réponse, et il risque de n'avoir aucune réponse ensuite..

  

Posté par
soria
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:09

Pas grave.

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:19

bien sur, pas grave..
gênant, pas pour toi, mais pour basilette14.

Pour basilette14 :
je crois que j'ai compris ta figure.

l'aire du quadrilatère MNOP : tu peux déjà noter que ABCD est un carré (les triangles sont rectangles et chaque coté = a+b)
l'angle MPO ?
MPO = 180° - (APM + DPO)  et APM+DPO = APM+ AMP = 90°
donc MPO = 90°
le quadrilatère MNOP est donc un carré (4 cote egaux = c et un angle droit).

son aire = c²

sauras tu continuer ?

Posté par
plvmpt
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:22

re Leile,

voila

démonstration du théorème de pythagore

Posté par
basilette14
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:26

Pas trop.
Mon prof nous a lmis sur la voie en nous disant qu'il faut prouver que MNOP est un losange. puis trouver la valeur de l'angle PMN et prouver que les angles AMB et BMN sont complémentaires.
mais je ne sais pas comment prouver tout cela

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:26

merci plvmpt,
bonne journée

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 13:36


Citation :
qu'il faut prouver que MNOP est un losange. puis trouver la valeur de l'angle PMN et prouver que les angles AMB et BMN sont complémentaires


relis mon post de 13:19

les 4 cotés de MNOP sont egaux à c  (enoncé)
un quadrilatère qui a deux cotés consécutifs égaux est un ....

ensuite, je t'ai montré comment trouver la valeur de l'angle MPO.. tu peux exactement faire la meme chose avec l'angle PMN  :

dans ABN rectangle en B, on a la somme des angles BMN + BNM = 90°
==> BMN et BNM sont complentaires.
les 4 triangles sont identiques donc leurs angles sont egaux deux à deux et BNM = MAP
donc BMN + AMP = 90°
==> BMN et AMP sont complémentaires.

alors PMN = 180° - (AMP + BMN) = 180° - 90° = 90°
PMN est un angle droit !

OK ?

Posté par
basilette14
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 14:19

ok j'ai compris, mais je ne vois pas comment calculer l'aire à part dire que A = c2?

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 14:29

il n'y a rien de plus à dire que A=c²

tu as montré que MNOP est un carré, et l'aire d'un carré de coté c, c'est c².

passe à la question 2 :
quel est le coté du carré bleu ? son aire ?
quel est le coté du carré vert ? son aire ?

montre que ABCD et EFGH ont la meme aire.

Posté par
basilette14
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 14:55

Ah ok.
Le côté du carré bleu est a donc son aire est a²
le côté du carré vert est b donc son aire est b²
donc l'aire de EFGH est (a+b)²
mais apres je bloque

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 15:06

c'est juste !

l'aire de ABCD aussi était (a+b)²
donc Aire EFGH = Aire ABCD
et Aire ABCD = aire MNOP + 4 triangles
==> aire ABCD = c² + 4 triangles

et Aire EFGH = aire (carré bleu + carré vert) + 4 triangles
==> aire EFGH = a² + b² + 4 triangles


ah ah .... on peut en déduire que c² = a² + b² ====> Vive Pythagore !

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : démonstration du théorème de pythagore 11-10-14 à 21:00

Bonsoir,
>pour Soria, si elle repasse par ici...

tu ne peux pas aider, certes mais en plus ce que tu écris est complètement faux

Citation :
la definition du théorème de Pythagore c'est SI UN TRIANGLE ET RECTANGLE ALORS LE CARRÉ DE L'HYPOTENUSE ET EGALE AU CARRÉ DES DEUX AUTRES CARRÉ.

je te conseille vivement d'apprendre le véritable théorème de Pythagore......

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 08:22

Bonjour,
je reprends un sujet ancien. J'ai un devoir de math à faire et j'ai retrouvé la figure de plvmpt, le carré. On me demande de justifier que MNOP est un carré.
j'ai répondu : le quadrilatère MNOP a 4 cotés de même longueur c alors c'est un carré.
Je suis en 4ème, cette réponse est-elle suffisante ?
Merci d'avance.

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 10:24

Bonjour gucci560,

Citation :
j'ai répondu : le quadrilatère MNOP a 4 cotés de même longueur c alors c'est un carré.

cela ne suffit pas pour démontrer que MNOP est un carré
en effet un quadrilatère ayant les quatre côtés de même longueur est un losange.

Pour qu'un losange soit un carré il faut démontrer qu'il a un angle droit.

Pour que MNOP soit un carré il faut donc qu'il ait :
les 4 côtés de même longueur
et
un angle droit

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 10:26

Merci. En ce moment on étudie Pythagore mais je ne vois pas comment l'utiliser. Tu peux me mettre sur la voie ? Merci

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 10:48

Quel est exactement ton énoncé ?

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 11:00

C'est la figure  de plvmpt, le carré postée en 2014.
je suis désolée je ne sais pas insérer une photo et on me demande de justifier que MNOP est un carré

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 11:06

voila le carré

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 11:08

Si je n'est pas l'énoncé exact je ne peux pas t'aider car je ne connais pas les hypothèses, pour ce qui est de la figure

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 11:17

voila

démonstration du théorème de pythagore

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 11:33

as-tu lu les message de leile, elle y explique comment démontrer qu'il y a un angle droit

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 11:38

Oui, j'ai lu, mais mon carré est inséré dans un autre carré et elle parle des triangles et du carré ABCD , donc je trouvais flou...

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 12:04

les 4 cotés de MNOP sont egaux à c (figure)
un quadrilatère qui a 4 cotés égaux est un losange

ensuite,

dans le triangle MBN rectangle en B,
on a angle BMN + angle BNM = 90°

donc les angles BMN et BNM sont complentaires.

les 4 triangles AMP, MBN, NCO et DOP sont égaux donc leurs angles sont égaux deux à deux et angle BNM = angle AMP

donc angle BMN + angle AMP = 90°

par conséquent les angles BMN et AMP sont complémentaires.

alors
angle PMN = 180° - (angle AMP + angle BMN) = 180° - 90° = 90°
donc
PMN est un angle droit !

MNOP est un losange qui a un angle droit c'est donc un carré

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 12:27

je te remercie, je dois y réfléchir sérieusement.
ensuite on me demande d'écrire une formule de l'aire du carré ABCD en considérant que son côté est (a+b) et développer l'expression.
j'ai fait :
aire ABCD  :  (a+b) ( a+b) =  a2+ ab+ ba+b2 = a2 + 2ba + b2
est-ce bon ?
Merci

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 12:55

bonjour gucci560,

oui, c'est exact   :   (a+b)²  =  (a+b)(a+b) =  a² + 2ab + b²

bonne journée

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 13:32

Merci, es-tu encore un peu disponible ?
On me demande : en considérant que cette aire est la somme des aires du carré central et des 4 triangles rectangles, écrit une expression de l'aire de ABCD

J'ai fait :
aire carré  C X C = C2
aire triangles :  (aXb)/2

aire de ABCD = C2+((aXb)/2) X 4

Mon raisonnement est-il bon ?
Je te remercie

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 14:27

mmhh  ...  
pour multiplier, utilise   *      plutôt que X ou x ..
tu devrais donner toutes les questions, au lieu de les donner au fil de l'eau..
ce que tu écris n'est pas faux, mais il faut simplifier ton expression  des 4 triangles

aire d'un triangle = (a*b)/2  
donc  aire de 4 triangles =    4 *    (a*b)/2  =  ??

aire MNOP =  c²   on est d'accord.

donc aire ABCD =  aire MNOP  +  aire des 4 triangles  =  ??

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 14:48

donc  aire de 4 triangles =    4 *    (a*b)/2  =2 a * 2b = 2ab
je ne suis pas sûr
je n'envoie pas toutes les questions en même temps car j'avance au fur et à mesure.
désolé

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 15:24

et la dernière question
écrire l'égalité entre les 2 expressions de cette aire, en déduire que c2 =a2 + b2
et c'est fini
un grand merci

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 15:30

gucci560 @ 27-02-2019 à 14:48

donc  aire de 4 triangles =    4 *    (a*b)/2  =2 a * 2b = 2ab oui.
je ne suis pas sûr ==>  tu n'es pas sûr ?   pourtant ça n'est pas un calcul tr-s compliqué
4 * ab/2  =  2ab ..
  


donc aire ABCD = c² + 2ab

dernière question :
tu as écrit que aire ABCD =  a² + 2ab + b²
et aussi  que    aire ABCD  =  c²  + 2ab
écris l'égalité entre les deux expressions pour répondre à la dernière question

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 15:46

a² + 2ab + b² = c²  + 2ab
ça donne a² +b²= c²  
je ne vois pas où on aboutit

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 27-02-19 à 16:23

on aboutit au théorème de pythagore !

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (par exemple dans le triangle MBN ==> c² = a² + b²

Un petit conseil : si tu ne vois pas où on aboutit, c'est peut-être parce que tu ne regardes pas l'énoncé en entier, tu prends les questions une à une, sans voir l'ensemble.
Les questions te guident pour résoudre un problème entier. Bien sûr, il faut y répondre l'une après l'autre, mais en gardant à l'esprit ce qu'on veut faire dans l'ensemble.
Tu vois ?
Ici, on veut démontrer le théorème de Pythagore. On t'aide en te faisant faire une figure "qui va bien", puis en te guidant, question par question, donc étape par étape.

OK ?

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 28-02-19 à 13:34

Bonjour,
J'ai repris mon devoir avec toutes les explications, hier tout se mélangeait, j'ai compris mais la 1ère question est rude.
sur la dernière question j'ai fait :
a² + 2ab + b² = c²  + 2ab
a² +b²= c²  
les triangles sont rectangles et selon le théorème de Pythagore l'hypoténuse c²  est égal à la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit a² +b²
est-ce suffisant comme réponse

Posté par
Leile
re : démonstration du théorème de pythagore 28-02-19 à 16:08

sur la dernière question j'ai fait :
a² + 2ab + b² = c²  + 2ab
a² +b²= c²  
les triangles sont rectangles  : on  a ainsi démontré le théorème de Pythagore l'hypoténuse c²  est égal à la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit a² +b²


Bonne journée

Posté par
gucci560
re : démonstration du théorème de pythagore 28-02-19 à 16:26

je te remercie de me valider la réponse. très bonne journée.



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