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Démonstration du théorème de Wilson

Posté par
Un_Nien
30-12-04 à 16:32

Tout d'abord, bonjour à tous, je suis nouveau ici.

Les présentations faites, je voudrais vous faire part d'un problème que j'ai sur la démonstration du théorème de Wilson.

Je vous donne tout d'abord l'énoncé (je signale juste que j'ai mis des guillemets autour des variables ( mais pas toutes) pour qu'on puisse bien les distinguer du texte, par exemple, "a", c'est a):



Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème de Wilson :

Pour tout nombre premier p, (p-1)!+1 est un multiple de p.

Remarquez qu'en termes de congruances, la conclusion s'écrit (p-1)!-1 (p)

Voilci une démonstration de ce théroème.

1) Vérifiez le théorème pour p=2 et p=3


2) Lorsque p>3, on écrit la suite des nombres : 2,3,4,...,p-3,p-2.


3) On note "a" un nombre de cette suite.

a) Vérifiez que le reste de la division de "a" par "p" est égal à "a".

b) Prouvez que le reste de la division de ap-2 par "p" est égal à l'un des nombres de la suite, ie ap-2r (p) avec r=2,ou 3, ou 4, ou ...,ou p-2.


4)

a)Prouvez qu'à tout nombre "a" de la suite on peut associer un autre nombre de la suite, a', tq aa'1 (p) et a'a.

b) Prouvez que si ab, aloes a'b'. (AIDE : raisonnez par l'absurde)

Déduisez que l'on peut écrire (p-3)/2 congruances modulo p, aia'i1, telles que les nombres ai et a'i qui y figurent sont exactement les nombes de la suite 2,3,...,p-2. (AIDE : Si nécessaire, traitez le cas p=7).


5) En multipliant membre à membre toutes les congruances aa'1 obtenues précédemment pour toutes les valeurs de a, déduisez que [(p-2)!]1 (p), puis que (p-1)! p-1 (p), et enfin que (p-1)!-1 (p).




Voilà l'énoncé complet (ouf !).

Donc j'ai réussi à ariver jusqu'a la question 3) b), puis après je n'y arrive plus, mais alors plus du tout ^^ (à partir de la 4) a) )

Pour la 4) a), j'ai essayé de faire un peu comme dans le 3) b), mais je n'y suis pas arrivé, alors ensuite j'ai pensé à le démontrer par récurrence, mais j'ai vu que c'était, comment dire ... utopique ^^

Donc quelqu'un pourrait-il me mettre sur la piste, me donner des indices pour essayer de continuer à partir du 4) ?

En vous remerciant.

Bonnes fêtes.

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 30-12-04 à 17:57

Quelqu'un pourrait-il m'aider SVP

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 30-12-04 à 22:25

Bon bah je me répond à moi même pour laisser mon sujet d'actualité, comme il est demandé dans les règles du forum ^^

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 31-12-04 à 12:18

?

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 31-12-04 à 16:04

Juste une question, mon théorème n'intéresse personne ou personne n'est en mesure de me répondre ?

Snif, au fait, j'ai réussi le 4) a), si quelqu'un pourrait m'aider pour le 4) b) et le 5) svp, ce serait

++

Posté par
Un_Nien
Problème en spé sur l arithmétique avec Wilson 02-01-05 à 14:36

Sachant que

p premier

2ap-2

2bp-2

2a'p-2

2b'p-2

ab

a'b'

aa'1 (mod p)

Déduire que l'on peut écrire (p-3)/2 congruances modulo p, aia'i1 (mod p), telles que les nombres aia'i qui y figurent sont exactement les nombres de la suite 2,3,...,p-2

Si vous pouviez m'aider sur cette question ça m'aiderait beaucoup (si vous voulez plus de détails allez voir plus loins dans ce forum le topic "Démonstration théorème de Wislon".

J'espère cette fois-ci que l'on va m'aider

++ et bonne année


*** message déplacé ***

Posté par LNb (invité)re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 15:11

Bonjour,

4.b. par l'absurde:
si b'=a', tu peux multiplier cette égalité par ab et utiliser le fait que aa' = bb' = 1 modulo p pour montrer que a = b modulo p , puis que a = b


comme on te le demande de faire, observons pour p = 7


la suite comprend les nombres 2, 3, 4, 5 : (il y a 4 nombres dans cette suite)
que tu associes deux par deux
(2,4) car 2*4 est congru à 1 modulo 7
(3,5) car 3*5 est congru à 1 modulo 7

et généralisons à p quelconque premier
la suite comprend les nombres 2,3,...p-2 (soit p-3 nombres)
que tu associes deux par deux grâce aux questions 4.a. et 4.b qui te disent justement que tu peux regrouper las nombres par paires (a,a') telles que a*a'=1 modulo p (la question a. te dit que les deux éléments a et a' sont distincts, la question b. te dit que les paires (a,a') et (b,b') sont ou bien confondues ou bien formés de 4 éléments distincts)

si tu prends p-3 éléments que tu réunis par paires, tu obtiens (p-3)/2 paires (a,a') telles que a*a' = 1 modulo p


5) si maintenant on prend (p-1)! . Ce nombre s'écrit
1 * (2 * 3 * .. * (p-2)) * (p-1)
tous les nombres de la parenthèse centrale se regroupent par paires dont le produit vaut 1 (modulo p)
donc (p-1)! = 1 * (1*1*...*1) *(p-1), modulo p
je te laisse finir....

Bon courage

Posté par LNb (invité)re : Problème en spé sur l arithmétique avec Wilson 02-01-05 à 15:14

voir topic principal

*** message déplacé ***

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 15:38

Tout d'abord, merci à toi.

Ensuite, pour la première partie de la 4) b), je pense l'avoir déjà réussie, je te donne ma méthode, pourrais-tu me confirmer si elle est bonne ou non ?

J'ai raisonné par l'absurde :

supposons ab et a'=b'

alors aa'1 (mod p)
et bb'1 (mod p)    d'après la question précédente

donc aa'bb' (mod p)

ie ab (p) car a'=b'
ie p|(a-b)

or 2a(p-2)<p
et 2b(p-2)<p
et ab

donc a-b0 et (a-b)<p

or comme p premier tq p>(a-b) alors p ne divise pas (a-b)

finalement, si ab, alors a'b'


Est-ce correct ?

Sinon, pour ce que tu as dis ensuite, je n'ai pas trop compris.

Pour le cas de 7, ça va, j'avais trouvé pareil (heureusement ^^)

Ensuite, je suis d'accord que la suite comprend p-3 solutions

Par contre, après, l'histoire de pair, je n'ai pas trop compris ...

En somme, tu dis que si je prend p-3 éléments que je répartis en deux paires (aa') et (bb'), alors pour chaque élément de cette paire, j'ai (p-3)/2 solution ?

Enfin si tu pouvais me réexpliquer car je n'ai pas trop bien compris ta démarche.

Pour le 5, je m'en occuperais après, mais merci pour la piste que tu m'as donnée.

A tout de suite j'espère ^^

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 16:13

Bah il n'y a plus personne

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 16:49

T'es plus la LNb ?

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 18:51

En fait fait quelqu'un pourrait me confirmer ma réponse et m'aider sur la fin de cette question 4) b) ça ce serait cool car mon devoir est a rendre pour demain ^^

++

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 20:47

Merci beaucoup Logarithme de b, j'ai finalement réussi à comprendre ce que tu m'as proposé pour la suite du 4) b)

J'avais fait sur mon brouillon quelque chose qui ressemblait à ça mais le problème est que je n'arrivais pas à le déduire exactement de ce que j'avais fait précédemment, mais grâce à ta démarche je comprend mieux et ai réussi ^^

Pour le 5), tu m'as déjà répondu à une des trois questions posées, je vais donc tenter de répondre aux deux dernières avant demain.

Sur ce, merci encore (car tu es le seul à m'avoir répondu ^^) et bonne année

Posté par
Un_Nien
re : Démonstration du théorème de Wilson 02-01-05 à 23:52

Bon même si personne ne regarde ce message je tient quand même à dire que je viens de me rendre compte que je me suis trompé dans mon 4) b) car je viens de me rappeler que, par exemple,

2a2b (mod c)

n impliquait pas que

ab (mod c)

Voilà, je tenais tout de même à rectifier mon erreur et à vous en faire part pour pas que vous tombiez dans le même piège que moi.

Bref, autrement, j'ai finalement fini mon devoirs YOUPI !

++

Posté par
shadow37
re : Démonstration du théorème de Wilson 29-01-10 à 20:38

Bonsoir,

Je suis également nouveau sur le forum, je suis en sup et j'ai à demontrer la réciproque du thèorème de Wilson par l'absurde...
cad montrer par l'absurde que si (p-1)!=-1[p] alors p est premier...

Je ne sais pas si tu as eu le faire dans ton dm mais si tu pouvais m'adier ce serait sympa!

Merci et bon courage pour tes concours



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