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démonstration fonction
bonjour,
pourriez vous m'aider pour le problème ci-dessous:
"démontrer que si une fonction f est continue sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, alors f garde un signe constant sur cet intervalle"
en raisonnent par l'absurde si possible
et aussi:
"on considère une suite (Un) (avec n appartient au entier naturel non nul) définie par:
U1=1/3 et pour tout n supérieur ou égal à 1, U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)"
*démontrer par récurrence que pour tout n sup ou égal à 1, Un est supérieur à 0.
*justifier que pour tout n supérieur ou égal à 1, (Un+1)/(Un) est supérieur ou égal à 2/3
*en déduire le sens de variation de la suite (Un)
*démontrer par récurrence que pour tout n supérieru ou égal à 1, Un est inférieur à (2/3)puissance n
*la suite (Un) est elle convergente? si oui, préciser sa limite.
merci d'avance pour votre aide
bonjour,
pourriez vous m'aider pour le problème ci-dessous:
"démontrer que si une fonction f est continue sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, alors f garde un signe constant sur cet intervalle"
en raisonnent par l'absurde si possible
et aussi:
"on considère une suite (Un) (avec n appartient au entier naturel non nul) définie par:
U1=1/3 et pour tout n supérieur ou égal à 1, U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)"
*démontrer par récurrence que pour tout n sup ou égal à 1, Un est supérieur à 0.
*justifier que pour tout n supérieur ou égal à 1, (Un+1)/(Un) est supérieur ou égal à 2/3
*en déduire le sens de variation de la suite (Un)
*démontrer par récurrence que pour tout n supérieru ou égal à 1, Un est inférieur à (2/3)puissance n
*la suite (Un) est elle convergente? si oui, préciser sa limite.
merci d'avance pour votre aide
bonjour,
pourriez vous m'aider pour le problème ci-dessous:
"démontrer que si une fonction f est continue sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, alors f garde un signe constant sur cet intervalle"
en raisonnent par l'absurde si possible
et aussi:
"on considère une suite (Un) (avec n appartient au entier naturel non nul) définie par:
U1=1/3 et pour tout n supérieur ou égal à 1, U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)"
*démontrer par récurrence que pour tout n sup ou égal à 1, Un est supérieur à 0.
*justifier que pour tout n supérieur ou égal à 1, (Un+1)/(Un) est supérieur ou égal à 2/3
*en déduire le sens de variation de la suite (Un)
*démontrer par récurrence que pour tout n supérieru ou égal à 1, Un est inférieur à (2/3)puissance n
*la suite (Un) est elle convergente? si oui, préciser sa limite.
merci d'avance pour votre aide
*** message déplacé ***
Vois si cela te convient.
Si f ne garde pas un signe constant, il y a au moins un point positif et un point négatif de f.
C'est à dire un point au dessus de l'axe des abscisses et un point en dessous de l'axe des absisses sur la courbe représentant f(x).
Comme f est continue, on peut passer d'un point quelconque de sa courbe à un autre point en suivant la courbe.
Donc on pourrait passer d'un point à abscisse positive à un point à abscisse négative en suivant une courbe qui ne coupe jamais l'axe des abscisses (puisque f ne s'annule jamais). C'est absurde.
Et donc f garde pas un signe constant
------
(n+1)/(3n) > 0 quel que soit n de N*
Donc U(n+1) a le même signe que U(n) (1)
Comme U(1) > 0, par (1), on a aussi U(2) > 0
Comme U(2) > 0, par (1), on a aussi U(3) > 0
... et ainsi de proche en proche, on a U(n) > 0 pour tout n de N*
-----
U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)
U(n+1)/U(n) = (n+1)/(3n)
U(n+1)/U(n) = (1/3) + (1/(3n))
Pour n >= 1, on a (1/(3n)) <= 1/3
->
U(n+1)/U(n) <= (1/3) + (1/3)
U(n+1)/U(n) <= 2/3
(C'est le contraire de ce que tu as écrit)
La suite est décroissante.
-----
Supposons U(n) < (2/3)^n
On a alors (2/3).U(n) < (2/3).(2/3)^n
(2/3).U(n) < (2/3)^(n+1)
Or on sait que U(n+1)/U(n) <= 2/3
U(n+1) <= (2/3).U(n)
->
U(n+1) <= (2/3)^(n+1)
Donc si U(n) < (2/3)^n, on a aussi U(n+1) <= (2/3)^(n+1)
Comme U(n) < (2/3)^n pour n = 1, on a aussi U(n) < (2/3)^n pour n = 2.
Comme U(n) < (2/3)^n pour n = 2, on a aussi U(n) < (2/3)^n pour n = 3.
... et ainsi de proche en proche, on a U(n) < (2/3)^n pour tout n de N*
-----
On a montré:
0 < U(n) < (2/3)^n
0 < lim(n->oo) U(n) <= lim(n->oo) (2/3)^n
0 < lim(n->oo) U(n) <= 0
lim(n->oo) U(n) = 0
Donc Un converge vers 0.
-----
Sauf distraction. 
*** message déplacé ***
s'il vous plait, serait-il possible que j'ai une réponse rapidement car j'ai un controle demin et je ne suis toujours pas capable de résoudre ce type d'exercice
bonjour,
pourriez vous m'aider pour le problème ci-dessous:
"démontrer que si une fonction f est continue sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, alors f garde un signe constant sur cet intervalle"
en raisonnent par l'absurde si possible
et aussi:
"on considère une suite (Un) (avec n appartient au entier naturel non nul) définie par:
U1=1/3 et pour tout n supérieur ou égal à 1, U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)"
*démontrer par récurrence que pour tout n sup ou égal à 1, Un est supérieur à 0.
*justifier que pour tout n supérieur ou égal à 1, (Un+1)/(Un) est supérieur ou égal à 2/3
*en déduire le sens de variation de la suite (Un)
*démontrer par récurrence que pour tout n supérieru ou égal à 1, Un est inférieur à (2/3)puissance n
*la suite (Un) est elle convergente? si oui, préciser sa limite.
merci d'avance pour votre aide
*** message déplacé ***
bonjour,
pourriez vous m'aider pour le problème ci-dessous:
"démontrer que si une fonction f est continue sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, alors f garde un signe constant sur cet intervalle"
en raisonnent par l'absurde si possible
et aussi:
"on considère une suite (Un) (avec n appartient au entier naturel non nul) définie par:
U1=1/3 et pour tout n supérieur ou égal à 1, U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)"
*démontrer par récurrence que pour tout n sup ou égal à 1, Un est supérieur à 0.
*justifier que pour tout n supérieur ou égal à 1, (Un+1)/(Un) est supérieur ou égal à 2/3
*en déduire le sens de variation de la suite (Un)
*démontrer par récurrence que pour tout n supérieru ou égal à 1, Un est inférieur à (2/3)puissance n
*la suite (Un) est elle convergente? si oui, préciser sa limite.
merci d'avance pour votre aide
*** message déplacé ***
salut
demonstration de la propriete :
raisonnement par l'absurde :
on suppose que f ne garde pas un signe constant sur I.
qezako ?
il existe x dans I tel que f(x)<0 et y dans I tel que
f(y)>0 (les inegalites sont strictes car f ne s'annule pas sur I)
on est dans R l'ordre est total donc x<y ou x>y
on va traiter qu'un cas l'autre se traite exactement de
la meme facon que le premier.
donc on suppose x<y
THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES :
la fonction f est continue sur un intervalle [x,y] (car continue sur I et [x,y] inclus dans I)
et f(x)*f(y)<0 donc il existe c dans [x,y] tel que f(c)=0.
x est dans [x,y] qui est inclus dans I.donc c est dans I.donc f s'annule en un point de I.
Or f ne s'annule pas sur I.contradiction.
f ne change donc pas de signe.
la suite maintenant (si je peux m'exprimer ainsi...)
la premiere question est juste un raisonnement par recurrence.
on voit que U1>0 U2=1/9>0
soit n dans N* tel que Un>0
U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)
d'apres hypothese de recurrence Un>0 on a donc U(n+1)>0
la propriete est hereditaire et U1>0 U2>0
donc pour tout n dans N, Un>0
comme pour tout n, Un>0, on peut diviser par Un l'egalite :
U(n+1)=((n+1)/(3n))(Un)
et on obtient U(n+1)/U(n)=(n+1)/(3n)
(n+1)/(3n)=1/3+1/n
donc U(n+1)/U(n)=1/3+1/(3n)
***erreur d'enonce ?***
on obtient U(n+1)/U(n)=<2/3 car pour tout n 1/(3n)=<1/3
on a pour tout n U(n+1)/U(n)=<2/3
donc U(n+1)=<(2/3)U(n)
donc U(n+1)-U(n)=<-(1/3)Un
or Un>0 pour tout n.
donc U(n+1)-U(n)<0 pour tout n.
La suite (Un) est donc decroissante.
remarque : elle est decroissante et minoree => elle est convergente.
pour tout n U(n+1)=<(2/3)U(n)
pour U1=1/3 ok
soit n dans N tel que U(n)=<(2/3)^n
U(n+1)=<(2/3)*U(n)=<(2/3)^(n+1)
donc pour tout n U(n)=<(2/3)^(n+1)
la suite Un est convergente car elle est encadrée comme suit
0<U(n)=<(2/3)^n
or (2/3)^n est une suite geometrique de raison 2/3<1
donc convergente vers 0.
donc (Un) converge (c'est bien ce qu'on avait remarque precedemment) et elle converge vers 0.
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