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demonstration infaisable sur la trigonométrie

Posté par fmolp (invité) 13-03-05 à 01:21

On pose t=cos(/5)

Démontrer que le réel t est solution de l'équation:

4x²-2x-1=0

Posté par
dad97 Correcteurre : demonstration infaisable sur la trigonométrie 13-03-05 à 03:27

Bonsoir fmolp,

On s'accroche

posons a=\frac{\pi}{5} pour alléger l'écriture :


Exprimons dans un premier temps cos(5a) :

cos(5a)=cos(3a)cos(2a)-sin(3a)sin(2a)

=[cos(2a)cos(a)-sin(2a)sin(a)]cos(2a)-[sin(2a)cos(a)+sin(a)cos(2a)]\times 2sin(a)cos(a)

=[(2cos^2(a)-1)cos(a)-2(1-cos^2(a))cos(a)][2cos^2(a)-1]-2[2sin(a)cos^2(a)+sin(a)(2cos^2(a)-1]sin(a)cos(a)

=[4cos^3(a)-3cos(a)][2cos^2-1]-2[4sin(a)cos^2(a)-sin(a)]sin(a)cos(a)

=8cos^5(a)-10cos^3(a)+3cos(a)-2sin^2(a)cos(a)[4cos^2(a)-1]

=8cos^5(a)-10cos^3(a)+3cos(a)-2[1-cos^2(a)][4cos^3(a)-cos(a)]

=8cos^5(a)-10cos^3(a)+3cos(a)-8cos^3(a)+2cos(a)+8cos^5(a)-2cos^3(a)

=16cos^5(a)-20cos^3(a)+5cos(a)

donc

\rm\blue\fbox{cos(5a)=16cos^5(a)-20cos^3(a)+5cos(a)}


mais cos(5a)=cos(\pi)=-1

donc -1=16cos^5(a)-20cos^3(a)+5cos(a)

soit 16cos^5(a)-20cos^3(a)+5cos(a)+1=0


donc \rm\blue\fbox{cos(a) est racine de 16X^5-20X^3+5X+1=0}

Factorisons 16x5-20x3+5x+1=0 :

on a un peu une idée de ce qu'on cherche donc on a envie de factoriser ce polynôme par 4x²-2x-1 et effectivement :

16x^5-20x^3+5x+1=0

(4x^2-2x-1)(4x^3+2x^2-3x-1)=0

(4x^2-2x-1)^2(x+1)=0

donc \rm\blue\fbox{cos(a) est racine (4x^2-2x-1)^2(x+1)=0}

Conclusion :

donc (4cos^2(a)-2cos(a)-1)^2(cos(a)+1)=0

or 1+cos(a)\neq 0 car cos(a)\neq -1

on en déduit donc que \rm\blue\fbox{4cos^2(\frac{\pi}{5})-2cos(\frac{\pi}{5})-1=0}

Salut

Posté par fmolp (invité)alors, là chapeau 13-03-05 à 09:43

Vraiment, je te remercie beaucoup, ça fait plaisir de trouver une telle entraide ici !! bonne continuation et merci encore !

Posté par fmolp (invité)aide pour question simple sur trigo mais qui m embrouille, svp 13-03-05 à 18:28

(j'ai des probs avec le latex donc : pi= )

on a démontré auparavant que :


cos(\frac{pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

En déduire :

sin\frac{pi}{5}, cos\frac{2\times(pi)}{5},

sin((2)/5); cos(/10) et
sin(/10)

*** message déplacé ***

Posté par fmolp (invité)j ai pas réussi un truc en latex, veuillez me répondre svp 13-03-05 à 18:30

comment ecrit-on :


cos(/5) en latex svp

*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmasterre : demonstration infaisable sur la trigonométrie 13-03-05 à 18:30

Merci de poser toutes les questions ayant rapport avec ton exercice dans un même topic

Posté par fmolp (invité)je sais mais 13-03-05 à 18:37

le probleme sur le latex n'avait pas de grand rapport avec mon probleme et je l'ai placé dans un topic concernant le latex !
Ensuite, si vous pouviez m'aider concernant le topic de 18:25 ce serait tres tres gentil à vous.

Merci d'avance

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : demonstration infaisable sur la trigonométrie 13-03-05 à 18:37

Tout simplement en mettant : \cos(\frac{\pi}{5}) dans les balises [ tex] et [ /tex] : \cos(\frac{\pi}{5})

Posté par fmolp (invité)merci et sinon 13-03-05 à 18:54

désolé d'insister mais est-ce que qqn peut répondre à :


on a démontré auparavant que:


\cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

En déduire :

sin(\frac{\pi}{5}); cos(\frac{\pi}{5}),

sin((2)/5); cos(/10) et
sin(/10)

Posté par fmolp (invité)répondez à mon topic précédent, urgent !! 13-03-05 à 19:32

tout est dit dans le titre, ça urge !!

Posté par
ma_corre démonstration infaisable en trigono 13-03-05 à 19:34

Bonsoir fmolp.

Dans ton cours, tu as comment calculer sin a à partir de cos a :
sin^2a+cos^2a=1.
Ensuite, tu as vu les formules de duplication de l'angle :
sin2a=2.sina.cosa et cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a.
Voilà. A toi de combiner ces formules.
Bon travail.


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