Tu peux aller voir, par exemple :
Est-ce que ça te suffit ?

Salut,
Comme tu as une limite réelle, tu peux encadrer . Par exemple, montre tout d'abord que (comme de toute façon tu vas faire tendre x vers , tu peux prendre des valeurs de x aussi grandes que tu veux pour montrer l'inégalité)

Oui, mais alors la question se pose de la démonstration du "théorème" énoncé dans le lien.  

Je ne pense pas que cela se "démontre" en Terminale.

Hors programme terminale, on pourrait utiliser la règle de Lhospital :

lim(x--> +oo) ln(x)/x est une forme indéterminée du type oo/oo ---> application de la règle de Lhospital.

lim(x--> +oo) [ln(x)/x] = lim(x--> +oo) [(1/x)/1] = lim(x--> +oo) [(1/x)] = 0
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Peut-être le fait-on en Terminale par une autre méthode ??

Si on a déjà démontré que
on peut écrire : et  faire le changement de variable  X=ln(x)

salut,
PerleDeBazil a donne la methode.
le plus souvent on encadre ln(x)-2*sqrt(x) sur [1;inf[

oups on majore

J'ai pas compris les étapes de l'encadrement, quelqu'un pourrai m'éclairer la voix x'il vous plait ??

salut

oui on peut le démontrer en terminale ...


l'étude de la fonction permet de conclure que

ensuite l'étude de la fonction permet de conclure que pour x > 2

on en déduit que

il suffit alors de diviser par x et appliquer le théorème des gendarmes .... _{^{pour les terminale qui le connaissent encore ...}}

Double emploi ... mais tant pis.

f(x) = ln(x) - Vx pour x > 0

f'(x) = 1/x - 1/(2Vx)
f'(x) = 1/x - Vx/(2x)
f'(x) = 2/(2x) - Vx/(2x)
f'(x) = (2-Vx)/(2x)

Et donc f'(x) < 0 pour > 4
Donc f(x) est décroissante pour x > 4
f(4) = ln(4) - V4 = -0,613...

Et donc, pour x > 4, on a : f(x) < -0,613... et a fortiori f(x) <= 0 ---> ln(x) <= Vx

Pour x > 4 :

ln(x) <= Vx
ln(x)/x <= Vx / x
ln(x)/x <= 1/Vx

on a aussi ln(x)/x >= 0 (pour x > 4) et donc :

0 <= ln(x)/x <= 1/Vx

0 <= lim(x--> +oo) [ln(x)/x] <= lim(x--> +oo) [1/Vx]

0 <= lim(x--> +oo) [ln(x)/x] <= 0

Et donc lim(x--> +oo) [ln(x)/x] = 0

Merci à infiniment à tous les membres qui ont participer dans sujet pour m'éclairer la voix, merci infiniment à chacun de vous.

Problème résolue.