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Démonstration nombres premiers entre eux
Bonsoir,
Je poste ici car j'ai un exercice de spé maths sur les nombres premiers à faire, mais je n'y arrive pas, ça fait plus d'une heure que je suis dessus et je tourne en rond.
L'énoncé est le suivant:
"Démontrer que si la somme de deux nombres entiers a et b est un nombre premier, alors a et b sont premiers entre eux".
Le prof nous a suggéré une démonstration par l'absurde, mais il n'en a pas dit plus.
J'ai posé dès le départ:
a+b = p => PGCD(a;b) = 1 CQFD ! (avec p premier) J'ai donc dit "supposons que si a+b = p => PGCD(a;b) > 1" .
Pouvez-vous m'aider S.V.P?
Salut,
Tu commences mal ton raisonnement par l'absurde, là tu supposes ce que tu cherches à démontrer, ça va être compliqué d'en sortir quelque chose.
Petite parenthèse tout de même, ton assertion a pas grand sens formellement. En gros ton "supposons que si a+b=p => PGCD(a,b) = 1" veut rien dire du tout, il faut enlever le si.
Mais c'est pas la question car c'est pas comme ça qu'il faut commencer.
Un raisonnement par l'absurde commence par supposer le contraire de ce que l'on veut montrer pour conclure que quelque chose cloche.
Donc on va commencer par trouver le contraire de "a+b = p avec p premier => a et b premiers entre eux"
Des idées ?
Le contraire "a+b = p avec p premier => a et b ne sont pas premiers entre eux" ... Je n'ai jamais écrit "supposons que si a+b=p => PGCD(a,b) = 1", j'ai écrit "supposons que si a+b = p => PGCD(a;b) > 1", donc c'est bien un raisonnement par l'absurde que j'ai posé, puisque j'ai respecté le schéma "P => Q ; raisonnement par l'absurde : P => non Q". Enfin bref 
Je ne connais qu'une propriété pour le moment en ce qui concerne les nombres premiers entre eux, c'est celle que j'ai noté avec le PGCD.
Ah oui pardon j'avais mal lu ^_^
Mais ça n'en fait pas toujours un raisonnement par l'absurde car tu prends pas le contraire du tout.
Bon, le contraire de ce que tu veux montrer c'est "a et b ne sont pas premiers entre eux et a + b est un nombre premier"
C'est ça que tu dois supposer dans ton raisonnement par l'absurde, pas... ton truc un peu chelou qui n'a pas grand sens xD
PS : Un raisonnement par l'absurde c'est prendre le contraire de ce que l'on veut montrer et arriver à une incohérence.
Le contraire de A => B c'est non B et A.
non, suppose que a et b soit un nombre premier mais que a et b ne soient pas premiers entre eux.
Alors il existerait un diviseur de a et b et on pourrait écrire a=qa' et b=qb' avec q
1
mais alors a+b = qa'+qb'=q(a'+b') ne pourrait pas être premier puisque le produit de deux nombres différents de 1.
D'où la contradiction.
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