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Démonstration par intégration du volume d'une pyramide

Posté par
Jijidu92i
12-12-20 à 12:40

Bonjour à tous,
Je suis bloqué dans le calcul du volume d'une pyramide à base triangulaire et plus précisément triangulaire isocèle. Ca fait depuis plusieurs heures que je ne comprends pas pourquoi je n'arrive pas à retrouver la formule de base qui est \frac{1}{3}b^2h.
Je vous ai joins une photo de la pyramide pour que vous puissiez comprendre de quoi je parle. Voici le raisonnement que j'ai mené :

V = \int_{0}^{h}{} (\int_{0}^{x(z)}{dx}\int_{0}^{y(z)}{dy})

= \int_{0}^{H}{(\frac{z}{h}l)^2dz}= (\frac{l}{h})^2\int_{0}^{h}{z^2dz}= \frac{1}{3}l^2h

Or ceci est la formule du volume d'une pyramide à base carrée et non triangulaire. La formule que je devrais trouver est l^2h/6 (la moitié de celle de la pyramide à base carrée).
Je ne vois vraiment pas où je me suis trompé.
Merci d'avance pour vos réponses.

Démonstration par intégration du volume d\'une pyramide

Posté par
Jijidu92i
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 12:42

Ce que j'ai cité comme étant la formule de base est fausse, c'est celle du volume quand la base est carrée, je viens de m'en rendre compte à l'instant. Désolé.

Posté par
sanantonio312
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 12:59

Bonjour,
Dans ton intégrale triple, tu commences par faire varier z de 0 à h. Soit. (il manque dz à la fin mais c'est un oubli)
Ensuite x varie en fonction de l et de z. Ok
Mais pour y, y dépend de x, de y et de l.

Posté par
Jijidu92i
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 13:36

Merci de votre réponse, dans mes calculs j'ai fais varié y de la même manière que j'ai fais varié x puisque y = x dans un triangle isocèle. Est-ce faux ?

Posté par
sanantonio312
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 14:11

Déjà, x(z)=zl/h ne va pas car ça ferait 0 pour z=0.
C'est plutôt x(z)=l(1-z/h). Non?
Ensuite, à mon sens, y est fonction de x et de z. Du type y(x,z)=l(1-z/h)(1-x/l)

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 17:27

Bonsoir
tu as voulu mettre la charrue avant les boeufs
tu commences par z, fort bien, ensuite tu as une intégrale double sur le triangle de dimensions x(z)= y(z)
et c'est là que tu vas recouper en une intégrale pour par exemple y entre 0 et y(z), d'une intégrale pour x entre ....

Posté par
Jijidu92i
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 20:56

Bonsoir,  merci de votre réponse, je pense que l'intégrale relative à x va de 0 à x(z) ? A vrai dire j'hésite entre x(z) et l.

Posté par
lafol Moderateur
re : Démonstration par intégration du volume d'une pyramide 12-12-20 à 21:16

fais donc des dessins ! représente un des plans pour z donné, avec le triangle , et balaie ce triangle
si x et y vont de 0 à la même chose, tu ne décris pas un triangle mais un carré ....

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