bonjour,
comment arrives-tu à 0= 1/(n+1) ?
peux-tu l'expliquer?

car c'est vrai à l'infini puisque la limite de 1/(n+1) est bien 0...

alors c'est peut être faux mais j'ai pensé que la limite de Un+1 et de Un était la même c'est à dire L donc
L=L +1/(n+1) donc 0=1/(n+1) mais c'est vrai qu'a l'infini il n'y a plus de contradiction..
donc je reviens au point de départ et je dois montrer que la suite (Un) ne converge pas

Bonjour,


Que veux dire "la limite de Un+1 et de Un est la même"

si elle n'existe pas.

Je te propose de considérer u_2n et  Un ,




Alain

avez-vous vu en classe ce qu'était une suite de Cauchy?
parce que la démonstration repose sur ce critère...

elle repose sur la comparaison de    et    comme le stipule si bien alainpaul

alors tout d'abord j'avais pensé à la comparaison entre U2n et Un mais c'est impossible car nous n'avons pas abordé cela en classe...
En effet nous devons utilisé un raisonnement par l'absurde

en fait le raisonnement auquel alainpaul et moi-même pensons s'effectue par l'absurde mais sans passer par notre méthode, je ne vois pas comment tu pourrais faire!

d'accord je vais essayer en comparant U2n et Un  mais dans mon exercice il nous donnait une aide, c'était de supposer que la suite 5un) admettait une limite et qu'il existe un entier p, tel que pour tout n>p Un appartient à [L-0.2;L+0.2], puis trouver un indice N pour lequel Un > L+0.2 ...

pas 5Un) mais (Un) *

Justement, pour l'indice N que tu cherches il est astucieux de prendre N=2p.
Et ensuite tu regardes ce que vaut U(2p) par rapport à U(p)...
Et tu tomberas sur une contradiction (démonstration par l'absurde).

Si Un converge vers l, par définition d'une limite :

>0  il existe P tel que   n>P  |Un - l| <

Donc par exemple en choisissant  =0,2  il existe P tel que n>P  |Un - l| < 0,2

Or choisissons N=2P et regardons U(N=2P) :
U(N=2P) = U(P) + _{k=1 à P} 1/(P+k) < U(P) + _{k=1 à P} 1/(P) = U(P) + ...

Et ensuite il reste juste à calculer U(2P) - U(P) pour voir que la différence est trop grande... et conclure.

Ok merci bien je vais regarder sa et je vous redit si j'ai un peu de mal

OK.


Regarder ça ...

je dois vous avouez que j'ai un peu de mal avec les sigma ...

Je dois t'avouer que les exercices c'est un peu fait pour ça...

Ecris le sigma sous forme de somme :  terme 1 + terme 2 + ... + terme p-1 + terme p.
Et là tout te paraîtra plus simple !

Mais U(2p) c'est bien égale a 1+1/2+1/3+...+1/2p nan ?
et U(p) égale 1+1/2+...+1/p
et il faut faire U(2p)-U(p) ?

Oui.
Ecris U(2P) - U(P) comme une somme de termes... C'est très simple.

alors j'ai fais quelque chose mais je ne suis pas sur de moi

alors U(2p)=1+1/2+...+1/p+1/p+1+...+1/2p
U(2p)-U(p)= 1/(p+1)+ 1/(p+2)+...+1/(2p)
conclusion U(2p)-U(p)n > p/2p
donc U(2p)-U(p)>1/2
mais je n'arrive pas a conclure

Jusqu'ici c'est parfait.
Tu as minoré chaque terme au-delà de 1/(p+k) par 1/(2p) et tu as compté p termes...
... donc tu as minoré globalement U(2p) - U(p) par 1/2.

Or si la limite de Up est l, tu vois bien qu'un écart de 1/2 entre U(2p) et U(p) est "inacceptable".
Cet écart devrait forcément tendre vers zéro, sinon la suite ne va pas converger.
Pour le prouver, comme on l'a dit au début :
... tu pars de la définition de la limite, afin de raisonner par l'absurde :

Si Un converge vers l, par définition d'une limite :
>0  il existe P tel que   nP  |Un - l| <  
Donc par exemple en choisissant  =0,2  il existe P tel que  nP  |Un - l| < 0,2

Donc en particulier :  |U(P)-l| < 0,2   et   |U(2P)-l| < 0,2
Donc :  |U(P)-l|  +  |U(2P)-l|  <  0,4
Or avec l'inégalité triangulaire :
|U(P)-l|  +  |U(2P)-l|    |(U(2P)-l) - (U(P)-l)|  =  |U(2P)) - (U(2P)|

Or on sait maintenant que :  U(2P) - U(P)  >  1/2

D'où la contradiction :
0,5  <  |U(P)-l|  +  |U(2P)-l|  <  0,4

L'hypothèse de convergence de U(n) est donc fausse, ce qui prouve par l'absurde, la divergence de U(n).

super merci beaucoup de ton aide et d'avoir pris le temps de m'expliquer

simplement quand tu écrit "|U(P)-l|  +  |U(2P)-l|    |(U(2P)-l) - (U(P)-l)|  =  |U(2P)) - (U(2P)| "
ce n'est pas plutôt égale à  |U(2P)) - (U(P)| ?

Exact !
Mauvaise manip dans mon copier/coller.

Je crois que tu as tout compris ...