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Démonstration par récurrence
Exercice :
J'ai besoin de vous pour me dire si c'est correct ou pas, merci d'avance !
Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 1 , 3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7
Démontrons par récurrence que pour tout n ≥ 1 ∈ N, "3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7"
Soit Pn définie sur N par "3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7"
Pour n = 1 on trouve 7 donc 7 = 7 x 1 donc P₁ vraie
Pour n = 2 on trouve 77 donc 77 = 7 x 11 donc P₂ vraie
Pour n = 3 on trouve 721 donc 721 = 7 x 103 donc P₃ vraie
Supposons pour n fixé, Pn vraie
On cherchera à démontrer que Pn+1 est vraie "3²(ⁿ⁺¹) - 2ⁿ⁺¹ est divisible par 7"
Or Pn vraie donc il existe k ∈ N tel que "3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7"
3²(ⁿ⁺¹) - 2ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ x 3² - 2ⁿ x 2¹ = 9 x 3²ⁿ - 2ⁿ x 2 = 9 x 7 x k x 2
= 126k = 7(9+9k)
Donc k existe et Pn+1 vraie
Donc d'après l'axiome de récurrence pour tout n ≥ 1 ∈ N, "3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7".
bonjour : )
bien : )
quelques remarques :
Soit Pn définie sur N par "3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7"
définie sur
Or Pn vraie donc il existe k ∈ N tel que "3²ⁿ - 2ⁿ est divisible par 7"
Or Pn est vraie donc il existe un k ∈
3²(ⁿ⁺¹) - 2ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ x 3² - 2ⁿ x 2¹ = 9 x 3²ⁿ - 2ⁿ x 2 = 9 x 7 x k x 2
= 126k = 7(9+9k)
Donc k existe et Pn+1 vraie
9\times 3^{2n} - 2\times 2^{n} = 9\times (7k + 2^n) - 2\times 2^n = 9\times 7k + 2^n(9 - 2) = 7(9k + 2^n) = 7k'
avec k' = 9k + 2^n
Donc Pn+1 est vraie.
3²(ⁿ⁺¹) - 2ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ = 3²ⁿ x 3² - 2ⁿ x 2¹ = 9 x 3²ⁿ - 2ⁿ x 2 = 9 x 7 x k x 2
= 126k = 7(9+9k)
Donc k existe et Pn+1 vraie
avec
Merci, ah mince, je tiens à dire que certaines de ces citations relevées sont des fautes de frappes... :p Merci beaucoup !
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