bonjour,

donne l'énoncé complet !

oui pardon le voici:
Soit la suite u définie pour tout entier n>=2 par :
Un=(1-(1/4))*(1-(1/9))*...*(1-(1/n^2))
1)a)Construire un algorithme qui permette de calculer Un pour tout entier n
b) Programmer, puis, en utilisant le programme, conjecturer le sens de variation et le comportement à l'infini de la suite u.

2)a) Démontrer que pour tout entier n>=2 on a :
Un+1=(n(n+2))/((n+1)^2)*Un
b) Démontrer que toute ntier n>=2 : Un=(n+1)/2n
Prouver les conjectures émises à la question 1)b)

j'ai des difficulté à faire la démonstration par récurrence à la question 2)b)

je te réponds dans 15 mn...

C'est d'accord je vous en remercie.

me revoilà..

la propriété est :

Un = (n+1)/2n

initialisation :   pose n=2,
tu trouves U₂ = ??      est ce que c'est égal à la valeur que tu as calculée  en Q1 ?
si oui, ton init est faite.

hérédité :
on admet que  U_n = (n+1)/2n
qu'en est il de  U _n+1 ?

U_n+1 = n(n+2) U_n / (n+1)²  
remplace Un par   (n+1)/2n
qu'est ce que tu obtiens ?

Alors pour l'initialisation je l'avais réussi et oui les valeurs sont identiques.
Mais pour l'hérédité j'ai quelque difficulté, après avoir mis au même dénominateur, j'obtient : (2*n^2*(n+2)*(n+1)^3)/(2n*(n+1)^2) mais je ne sais pas quoi faire après

simplifie !
tu as (n+1) au numérateur ET au dénominateur (tu peux simplifier car n+1 est non nul),
idem pour n, ...

euh, j'ai répondu trop vite...

montre moi le détail de ton calcul...

Le voici:

Un+1= (n(n+2))/(n+1)^2*Un
             =(n(n+2))/(n+1)^2*(n+1)/(2n)

et après cela j'étais bloqué mais du coup je viens d'essayer de simplifier avec (n+1)
et du coup j'obtiens :  2n*(n+2)*(n+1) mais je suis pas sur de ça.

déjà, c'est très différent de ce que tu avais écrit à 18:39..
c'est mieux.

ta façon d'écrire les expressions est peu lisible, on ne voit pas bien ce qui est au numérateur, et ce qui est au dénominateur.
Je suppose que tu as voulu écrire :



simplifie par (n+1) et par n ...

euh non c'est pas ça, mais je ne sais pas comment on écrit les formule plus clairement comme vous venez de faire, pouvez-vous m'expliquer que je puisse vous envoyer clairement ce que j'ai trouvé.

j'ai utilisé l'assistant latex , que tu trouves en bas de la fenêtre de réponse, juste avant TT.

est ce que ce que tu avais écrit est


??

d'accord merci, et oui c'est bien ça que j'ai écrit



et du coup en mettant au même dénominateur j'obtiens

hainzau,
uvre tes yeux !  

tu mets au même dénominateur pour additionner deux fractions
mais ici il ne s'agit pas d'une somme, mais d'un produit !
pour multiplier deux fractions, comment fais tu ?

fais le, et tu verras que



est egal à



cf mon post de 18:59...
simplifie par n et (n+1) !

Mince, mais oui c'est vrai c'est une multiplication et non une addition du coup ça donne simplement


et donc en simplifiant on obtient

Voilààà !

on avait
hérédité :
on admet que  Un = (n+1)/2n  ==>   ca c'est propriété vraie pour n  : P_n
qu'en est il de  U _n+1 ?
ce que tu as obtenu, c'est bien P_n+1

donc quand c'est vrai pour n, c'est vrai pour n+1..
bouclé.
OK ?

n'oublie pas de simplifier aussi par n !!

Mais je ne comprend pas en quoi l'hérédité est elle vrai

et du coup lorsque l'on simplifie par n on obtient


mais je ne comprend pas bien ou est ce que l'on cherche a arriver

si tu simplifies par n, tu obtiens (n+1)*2 au dénominateur..

hérédité :
on admet que  Un = (n+1)/2n  ==>   ca c'est propriété vraie pour n  : Pn
si elle est vraie pour n+1, alors
U_n+1 =  ((n+1) +1 ) / 2(n+1)  =  (n+2)/2(n+1)
on va donc essayer de retrouver cette expression.

tu as calculé U_n+1 avec l'expression donnée en question 2a)  
et tu as montré que U_n+1 =  (n+2)/2(n+1)
c'est ce que tu voulais obtenir.
ok ?

oui mince, on obtient (n+1)*2 au dénominateur
mais je n'ai pas montré que Un+1 =  (n+2)/2(n+1)  du coup oui c'est bien ce que je chercher a démontré donc je n'ai plus qu'à conclure que Un est initialisé et héréditaire ?

je vais manger je reviens dans quelque minute !

Me revoilà !

Alors ou en étions-nous, oui du coup je conclue mais après je doit prouver les conjecture émises, qui était: que la suite tendait vers 1/2 et était décroissante.  
Mais en quoi tous ça me permet de démontré ça, si c'est possible je ne comprend pas comment faire.

vers quoi tend    (n+1)/2n    quand n tend vers l'infini ?

euh ah oui bah 1/2 du coup comme on retire les n.

Nickel j'ai tous compris j'espère juste que je réussirai à le refaire tout seul, merci de votre aide je vous en suis très reconnaissant je n'y serai jamais arrivé sinon.

Encore Merci bonne soirée a vous !

PS: désolé pour les fautes d'orthographe j'ai essayé d'en faire le moins possible mais comme d'hab je suis pas très doué là aussi xD

pour montrer que la suite est décroissante,   tu sais faire ?

Ah non mince j'avais oublié ça

Enfin on peut étant donné que n est multiplié par deux et est seulement additionné a 1 le dénominateur est de plus en plus grand donc la suite est décroissante ?

mmhh...   ça n'est pas très rigoureux, ça !

écris   U_n+1 -  U_n , , développe et réduis, et montre que c'est négatif.
(tu vas pouvoir mettre sur même dénominateur cette fois       )

On obtient donc

oui, le dénominateur est toujours >0, donc la fraction est toujours négative.

U_n+1 -  U_n  < 0
==>
U_n+1  <  U_n  quelque soit n ==> la suite est décroissante.

Tu as tout compris ?

Oui, vraiment merci beaucoup pour votre aide, j'espère juste que je réussirai à le refaire tous seul mais au moins la j'ai compris maintenant. Merci 😁

je t'en prie.
Bonne soirée.