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Démonstration par récurrence

Posté par
Manon61178 03-09-20 à 16:40

bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice :
A l'aide d'un raisonnement de récurrence, démontrer que pour tout entier naturel: n supérieur ou égal à 4 : un supérieur ou égal à 0 sachant que u0=1 et que un+1=1/3un+n-2
J'ai déjà fait la première partie : initialisation j'ai montré que P4est vraie puisque j'ai calculé u4qui est supérieur à 0.
Je bloque dans pour la partie hérédité je ne sais pas ce que je dois monter.
Merci d'avance pour vos éléments de réponses

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 16:51

Bonjour
tu ne pouvais pas faire l'initialisation au rang 0 ? ce n'est pas vérifié ?
travaille un peu ce document très détaillé Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 16:52

Non, je pensais que cela n'est pas possible étant donné que n doit être supérieur ou egal à 4.

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 16:55

exact, c'est moi qui ai mal lu l'énoncé

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:02

Merci pour le lien de votre document ! Du coup pour la partie hérédité je peux montrer que s'il existe k supérieur ou égal à 4 tel que uksupérieur ou égal à 0 alors uk+1sera supérieur ou égale à 0 ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:04

oui, c'est ce que tu dois démontrer, ce passage, qu'on appelle "hérédité"

Posté par
flightre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:06

salut

c'est  Un+1=1/(3.Un+n-2 )   ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:08

flight, ce n'est pas du tout ce que Manon61178 a écrit ....

Posté par
flightre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:18

justement ..sans les parenthèses tu comprend quoi malou ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:22

ce qui est écrit est u_{n+1}=\dfrac 1 3 u_n+n-2 et rien d'autre

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:22

Je ne sais pas du tout comment démontrer que uk+1est supérieur ou égale si k est plus grand ou égal à 4 que dois je faire ? Est ce que je dois montrer que  le suite est croissante ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 17:24

non, tu dois démontrer que uk+1 0

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:00

Donc que 1/3k+1+k+1-2 est supérieur ou égale à 0 ?

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:01

je suis perdue je dois résoudre une equation du coup ? Ou une inéquation ?

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:11

tu supposes que u_k \ge 0

et tu dois en déduire que \dfrac 1 3 u_k + k - 2 est alors positif (n'oublie pas que n \ge 4)

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:22

Mais je ne dois pas déduire que uk+1est positif ? Je sais déjà que uk zqt positif

Posté par
Manon61178re : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:24

ah non OK je viens de comprendre meeci beaucoup !

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:24

Manon61178 @ 03-09-2020 à 18:22

Mais je ne dois pas déduire que uk+1est positif ? ben si, c'est exactement ce que je t'ai écrit au dessus Je sais déjà que uk zqt positif

Posté par
malou Webmasterre : Démonstration par récurrence 03-09-20 à 18:24

messages croisés, OK
tu as compris !


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