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Démonstration par récurrence
Bonjour tout le monde, j'ai un dm à faire et je suis bloqué sur un exercice. le voici :
1) soit la suite (Un) définie par : u0=2 et pour tout entier naturel n non nul, Un+1 = Un/Un + 1.
démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un = 2/2N+1
2) n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer par récurrence que pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 on a : (2+x)n ≥ 2n +2nx
J'aimerais de l'aide pour la question 2, je suis totalement bloqué je ne sais pas comment faire, merci beaucoup d'avance pour votre aide !
Bonjour ivoh
merci de mettre ton niveau à jour
extrait de 
la FAQ du forum :Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?
équivalences des systèmes de niveaux scolairesattention aux parenthèses
LaTeXpendant que j'y suis, petit dépannage :
pour ta question 2)
n=0 est-ce vrai ?
je suppose que pour n dans N, (2+x)n ≥ 2n +2nx
est ce vrai au rang suivant ? ...je veux faire apparaître (2+x)n+1
pour cela :
(2+x)n (2+x) ≥ .....
ah d'accord, donc ensuite, on multiplie par (2+x) des deux cotés ce qui me donner l'égalité : (2+x)n+1 ≥ 2n 2nx X (2+x)
alors ensuite je ne sais pas si c'est bon mais j'ai développé : (2+x)n+1 ≥ 2n + 2n X 2x + x2
je remplace les n par 2 et les X par un nombre positif, je choisis 1 ce qui me donne:
(2+1)3 ≥ 22 + 2 X 2 X 2 +1
ce qui me donne à la fin :
13 ≥ 13
Et je conclus. est-ce correct ?
tu es vraiment fâché avec les parenthèses, dis moi
(2+x)n+1 ≥ (2n + 2nx )* (2+x)
donc il manque du monde quand tu développes
utilise * pour le signe de la multiplication
mets ton profil à jour (2e fois, il n'y en aura pas 3 ...)
alors, j'ai changé mon profil.
en mettant les parenthèses, j'obtient : (2+1)n+1 ≥ 2n+1 +2n * 4nx + 2nx2
en remplaçant n par 2 et 0 par 1, on obtient : (2+1)3 ≥ 23 + 2*1 + 4*2 + 2*2
ce qui me donne à la fin :
27 ≥ 22
puis ensuite, je conclus. C'est correct ? ( merci pour votre aide )
mais tu n'a pas le droit de remplacer n par une valeur particulière
il te reste à montrer que ton membre de droite est supérieur à cette expression 2n +2nx dans laquelle n sera remplacé par (n+1)
tu as ce fichier intéressant pour toi : 
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
ok, et vous m'aviez dit dans votre message à 20H45 que il me reste à montrer que mon membre de droite est supérieur à cette expression 2n +2nx dans laquelle n sera remplacé par (n+1), c'était pas le membre de gauche plutot ? Car 2n +2nx c'est lui le membre de droite non ? ou alors c'est moi qui ait mal compris
salut, j'ai exactement le même problème a faire pour demain mais je n'ai pas compris les consignes au dessus. Est ce que éventuellement quelqu'un pourrait le faire et détailler ses calculs pour qu'on puisse ensuite le comprendre et le refaire ? ça serait très sympa 
Merci et bonne soirée
Ps : je vais mettre mon profil a jour
ok, et vous m'aviez dit dans votre message à 20H45 que il me reste à montrer que mon membre de droite est supérieur à cette expression 2n +2nx dans laquelle n sera remplacé par (n+1), c'était pas le membre de gauche plutot ? Car 2n +2nx c'est lui le membre de droite non ? ou alors c'est moi qui ait mal compris
non non, j'ai bien dit membre de droite
tu devras étudier la rédaction des exemples de la fiche pour comprendre ce que tu fais, parce que là, j'ai l'impression que tu y vas un peu au radar
je quitte pour ce soir, quelqu'un prendra éventuellement le relais
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer par récurrence que pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 on a : (2+x)n ≥ 2n +2nx
Tu dois d'abord montrer que l'inégalité est vérifiée pour n=2
Pour ça, tu dois effectivement remplacer n par 2 et faire la vérification. Tu auras alors initialisé.
Ensuite, l'hérédité. Tu dois démontrer que si l'inégalité est vérifiée pour une valeur de n
2 alors, elle est également vérifiée pour n+1. Quelque soit x, c'est à dire sans choisir une valeur particulière pour x.
Là, tu as une hypothèse: (2+x)n ≥ 2n +2nx
Tu dois montrer que (2+x)n+1 ≥ 2n+1 +2(n+1)x
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