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démonstration par récurrence

Posté par
alobibou 30-10-20 à 13:51

Bonjour ,

On considère la suite Un
définie par U0=2 et, pour tout entier naturel  :
Un+1=\frac{1+3Un}{3+Un}

On admet que tout les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , on a Un >1
Initialisation :
U0=2  (>1) Donc ok.
Hérédité :
On suppose qu'a un rang p fixé , on a up >1
Montrons qu'au rang p+1 Up+1 >1
Up >1
3+Up >4
\frac{3+Up}{1+3Up} >\frac{4}{1+3Up}
Par passage à l'inverse
\frac{1+3Up}{3+Up} >\frac{1+3Up}{4}
Donc Up+1  > \frac{1+3Up}{4}
Et la je bloque dans la résolution

Posté par
ciocciure : démonstration par récurrence 30-10-20 à 13:56

salut
y'a un truc super super utile avec les inéquation c'est de passer par une étude de signe
donc si tu veux montrer que Un+1>1
tu trouves le signes de Un+1 -1

Posté par
alobiboure : démonstration par récurrence 30-10-20 à 14:06

Donc Up+1-1  > O
\frac{1+3Up}{3+Up}-1=\frac{1+3Up-1(3+Up)}{3+Up}=\frac{-2+2Up}{3+Up}
Mais comment prouver que le numérateur est supérieur au dénominateur ?

Posté par
alobiboure : démonstration par récurrence 30-10-20 à 16:33

?

Posté par
bbjhakanre : démonstration par récurrence 30-10-20 à 16:46

bonjour
déjà il est faux d'écrire u_{p+1}-1 > 0 puisque c'est ce que tu vas démontrer
ensuite pourquoi veux-tu montrer que le numérateur est supérieur au dénominateur? tu veux étudier le signe. que peux-tu dire du signe du dénominateur? et du numérateur?

Posté par
azerti75re : démonstration par récurrence 31-10-20 à 13:01

alobibou @ 30-10-2020 à 13:51


\frac{3+Up}{1+3Up} >\frac{4}{1+3Up}
Par passage à l'inverse
\frac{1+3Up}{3+Up} >\frac{1+3Up}{4}


C'est faux, ça !
Exemple : 5 > 1 mais 1/ 5 < 1 , car 1/5 = 0,2

Posté par
azerti75re : démonstration par récurrence 31-10-20 à 13:11

alobibou @ 30-10-2020 à 14:06

Donc Up+1-1  > O
\frac{1+3Up}{3+Up}-1=\frac{1+3Up-1(3+Up)}{3+Up}=\frac{-2+2Up}{3+Up}

Factorise le numérateur puis utilise l'hypothèse de récurrence Up > 1 pour trouver le signe du numérateur .


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