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Démonstration par récurrence

Posté par
llulucas
06-11-21 à 17:41

Bonsoir ou bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum mais je viens souvent le consulter pour m'aider sur des problèmes en maths. alors voici l'énoncé : (image en pdf)
j'ai donc fait la démonstration par récurrence, l'initialisation : sachant que v0 = 1, v1=1/1+1 = 1/2 et 1/2 >0 donc la propriété est vrai au rang P0. Pour l'héredité : Supposons que Pk est vrai : C'est à dire : vk >0, montrons que que la propriété est vraie au rang Pk+1, c'est à dire : vk+1 > 0.


Posté par
llulucas
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 17:41

DONC pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? merci !

Posté par
llulucas
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 17:49

j'ai remarqué que l'énoncé ne s'affichait pas, je n'ai pas compris mais le voici:

Soit (vn) la suite définie par v0 = 1 et, pour tout n appartient à N, vn+1= vn/1+vn.

1) Démontrer que, pour tout n appartient à N, vn > 0.

Posté par
Mateo_13
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 17:56

Bonjour,

l'énoncé ne s'affiche pas car la charte du forum demande que tu le tapes, et que tu ne mettes que des images en pièce jointe.

Si v_n > 0, que peux-tu dire du signe de 1 + v_n ?
Que peux-tu en déduire du signe de v_{n+1} ?

Posté par
llulucas
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:05

Alors si Vn est supérieur à 0 alors 1+vn sera toujours positif et supérieur à 0 et surtout il sera plus grand que vn, donc vn + 1, sera toujours compris entre 0 et 1 puisque le dénominateur est supérieur au nominateur. Et on peut donc en déduire que : plus n deviendra grand, plus l'écart entre vn et 1+vn deviendra grand donc vn+1 tendra vers 0. Alors il sera positif ?

Posté par
Mateo_13
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:10

De quel signe est un quotient de deux nombres de même signe ?

Posté par
llulucas
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:12

Positif si les deux sont positif ( ce qui est notre cas) et positif si les deux sont négatif.

Posté par
llulucas
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:13

comment donc on peut l'inclure dans la démonstration par récurrence ?

Posté par
Mateo_13
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:19

C'est la fin de l'hérédité :

tu l'as initialisé,
et en supposant qu'à un certain rang n, v_n > 0, tu as démontré que cette propriété est vraie au rang suivant.

Posté par
llulucas
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:21

d'accord !! mercii beaucoup

Posté par
Mateo_13
re : Démonstration par récurrence 06-11-21 à 18:26

Avec plaisir.



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