Bonjour Liliana,

A finir ou à commencer ?

Tu ne précises pas pour quelles valeurs de on travaille, autrement dit pour quelles valeurs de la proposition est vraie. C'est dommage, car c'est nécessaire de savoir là où on travaille.
Je vais supposé que , tu corrigeras si besoin.
De plus, j'imagine qu'il manque pas mal de parenthèses dans ta proposition.

Pour l'hérédité donc, tu supposes que la proposition est vraie à un rang fixé, avec , autrement dit que .
Il s'agit alors de montrer que la proposition est vraie au rang , autrement dit que .

Au passage, pense à écrire clairement l'hypothèse de récurrence, et le résultat que tu souhaites montrer. Tu pourras alors voir quels chemins prendre pour arriver à la conclusion.

Bon, là, l'idée c'est de casser la puissance pour faire apparaître l'hypothèse de récurrence (HR). Comme ça par exemple :



A toi de continuer...

Oui je m'excuse l'énoncé a mal été rédigé. On travaille bien avec n appartenant à N. Cependant, il n'ya pas de parenthèse avec le -2

Du coup cela donnerait:   z^{3k+2}z^3= -2^{3k+4} (1-i√3)
                                                        -2^{3k+1} (1-i√3) z^3= -2^{3k+4} (1-i√3)
                                                        -2^{3k+1} (1-i√3) * 8= -2^{3k+4} (1-i√3)
                                                        
Je ne sais pas vraiment si je suis sur le bon chemin...
                                

Je le réecris avec la bonne écriture :

     z^3k+2z³= -2^{3k+4} (1-i√3)
   -2^3k+1 (1-i√3) z³= -2^3k+4 (1-i√3)
    -2^3k+1 (1-i√3) * 8= -2^3k+4 (1-i√3)

Je le réecris avec la bonne écriture :

     z3k+2z3= -2^3k+4 (1-i√3)
   -23k+1 (1-i√3) z3= -23k+4 (1-i√3)
    -23k+1 (1-i√3) * 8= -23k+4 (1-i√3)

Je le réecris avec la bonne écriture (pour la nième fois) :

     z^3k+2z3= -23k+4 (1-i√3)
   -2^3k+1 (1-i√3) z3= -23k+4 (1-i√3)
    -2^3k+1 (1-i√3) * 8= -23k+4 (1-i√3)

Je ne comprends pas ce que tu fais.

Il faut d'abord calculer , puis le remplacer dans

Mais dans ton énoncé, il y a une racine qui se balade toute seule dans l'expression de ...

C'est ce que j'ai fait, z³ = 8 et dans mon énoncé il me semble qu'il n'y a pas d'erreur z est bien égale à :
(5-3i√) / (1+2i√3)

J'ai finalement réussi à finir cette démonstration, merci.

Avec plaisir !
Il se suffit de se poser les bonnes questions en fait. Qu'est-ce que je suppose vrai, et quel est le résultat final que je veux dméontrer.
Entre les deux, ce n'est souvent que du calcul que tu connais depuis la troisième : développement, factorisation, calculs sur les puissances, les fractions, etc.