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Démonstration par récurrence

Posté par
Liliana27
15-10-22 à 16:58

Bonjour à tous,

Je rencontre quelques difficultés à finir un raisonnement par récurrence:

z puissance 3n+2 = -2puissance 3n+1 * (1 − i√3) avec z = (5-3i√) / (1+2i√3)

J'ai réussi à faire l'initialisation et l'hypothèse de récurrence est ;
z puissance 3k+2= -2 puissance 3k+1  * (1-i√3)

Posté par
Thomasdxb
re : Démonstration par récurrence 15-10-22 à 18:02

Bonjour Liliana,

A finir ou à commencer ?

Tu ne précises pas pour quelles valeurs de \mathbb{N} on travaille, autrement dit pour quelles valeurs de \mathbb{N} la proposition est vraie. C'est dommage, car c'est nécessaire de savoir là où on travaille.
Je vais supposé que n\in \mathbb{N}, tu corrigeras si besoin.
De plus, j'imagine qu'il manque pas mal de parenthèses dans ta proposition.

Pour l'hérédité donc, tu supposes que la proposition est vraie à un rang n fixé, avec n\ge 1, autrement dit que z^{3n+2}=(-2)^{3n+1}(1-i\sqrt{3}).
Il s'agit alors de montrer que la proposition est vraie au rang n+1, autrement dit que z^{3n+5}=(-2)^{3n+4}(1-i\sqrt{3}).

Au passage, pense à écrire clairement l'hypothèse de récurrence, et le résultat que tu souhaites montrer. Tu pourras alors voir quels chemins prendre pour arriver à la conclusion.

Bon, là, l'idée c'est de casser la puissance pour faire apparaître l'hypothèse de récurrence (HR). Comme ça par exemple :

z^{3n+5}=z^{3n+2}z^3=...

A toi de continuer...

Posté par
Liliana27
re : Démonstration par récurrence 15-10-22 à 21:06

Oui je m'excuse l'énoncé a mal été rédigé. On travaille bien avec n appartenant à N. Cependant, il n'ya pas de parenthèse avec le -2

Du coup cela donnerait:   z^{3k+2}z^3= -2^{3k+4} (1-i√3)
                                                        -2^{3k+1} (1-i√3) z^3= -2^{3k+4} (1-i√3)
                                                        -2^{3k+1} (1-i√3) * 8= -2^{3k+4} (1-i√3)
                                                        
Je ne sais pas vraiment si je suis sur le bon chemin...
                                

Posté par
Liliana27
re : Démonstration par récurrence 15-10-22 à 21:40

Je le réecris avec la bonne écriture :

     z3k+2z3= -2^{3k+4} (1-i√3)
   -23k+1 (1-i√3) z3= -23k+4 (1-i√3)
    -23k+1 (1-i√3) * 8= -23k+4 (1-i√3)

Posté par
Liliana27
re : Démonstration par récurrence 15-10-22 à 21:41

Je le réecris avec la bonne écriture :

     z3k+2z3= -23k+4 (1-i√3)
   -23k+1 (1-i√3) z3= -23k+4 (1-i√3)
    -23k+1 (1-i√3) * 8= -23k+4 (1-i√3)

Posté par
Liliana27
re : Démonstration par récurrence 15-10-22 à 22:01

Je le réecris avec la bonne écriture (pour la nième fois) :

     z3k+2z3= -23k+4 (1-i√3)
   -23k+1 (1-i√3) z3= -23k+4 (1-i√3)
    -23k+1 (1-i√3) * 8= -23k+4 (1-i√3)

Posté par
Thomasdxb
re : Démonstration par récurrence 16-10-22 à 03:40

Je ne comprends pas ce que tu fais.

Il faut d'abord calculer z^3, puis le remplacer dans z^{3n+2}z^3=...

Mais dans ton énoncé, il y a une racine qui se balade toute seule dans l'expression de z...

Posté par
Liliana27
re : Démonstration par récurrence 16-10-22 à 12:54

C'est ce que j'ai fait, z3 = 8 et dans mon énoncé il me semble qu'il n'y a pas d'erreur z est bien égale à :
(5-3i√) / (1+2i√3)

Posté par
Liliana27
re : Démonstration par récurrence 16-10-22 à 13:14

J'ai finalement réussi à finir cette démonstration, merci.

Posté par
Thomasdxb
re : Démonstration par récurrence 17-10-22 à 13:59

Avec plaisir !
Il se suffit de se poser les bonnes questions en fait. Qu'est-ce que je suppose vrai, et quel est le résultat final que je veux dméontrer.
Entre les deux, ce n'est souvent que du calcul que tu connais depuis la troisième : développement, factorisation, calculs sur les puissances, les fractions, etc.



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