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Démonstration par récurrence
Bonjour,
Je bloque sur mon devoir maison de maths, voici l'énoncé :
On considère la suite (Un) définie par u0= 1 et Un+1 = 1/2 (Un+2/Un) pour tout entier naturel n.
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0.
2) Démontrer que pour tout n appartenant à N, Un+1^2 -2 = (Un^2-2/2Un)^2
Pour la 1ère question, j'ai pu faire ceci :
- Soit la suite (Un) définie par u0 = 1 et Un+1 = 1/2 (Un+ 2/Un)
Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n, Un>0.
Initialisation : Pour n= 0
1>0 donc U0>0.
La propriété est donc vraie pour n=0
Hérédité : Supposons que pour un certain entier n, Un >0. Démontrons que : Un+1 >0
On a : Un>0
Un+2/Un > 2/Un
1/2 (Un+2/Un) > Un
Un+1 > Un > 0
La propriété est initialisée et héréditaire donc pour tout entier naturel n, Un>0.
Par contre pour la deuxième question, j'ai beau essayé, je bloque sur le raisonnement. Pourriez-vous m'aider,s'il vous plaît ?
Bonjour
2) tu pars du membre de gauche
tu remplaces Un+1 par sa définition en fonction de Un
tu réduis au même dénominateur, et tu fais les calculs
ça devrait passer 
salut
je ne suis pas d'accord avec
Hérédité : Supposons que pour un certain entier n, Un >0. Démontrons que : Un+1 >0
On a : Un>0
Un+2/Un > 2/Un
1/2 (Un+2/Un) > Un
Un+1 > Un > 0
malou
Bonjour,
J'ai justement essayé plusieurs fois de passer par le membre de gauche mais je ne retombe pas sur le résultat attendu, par exemple j'ai eu :
(Un+1)^2 - 2 = (1/2 (Un+2/Un))^2 -2
= 1/4 (Un+2/Un)^2 - 2
= 1/4 ( Un^2 + 2×Un×2/Un +
(2/ Un)^2 ) -2
= 1/4 (Un^2 + 4Un/Un +
4/Un^2)-2
= Un ^2 / 4 + 4Un/4Un+
4/4Un^2 - 2
= (Un ^ 3 + 4 Un) / 4 Un + 4 / 4
Un ^2 - 2
= (Un^6 + 8Un^2 +4 - 8Un ^2)
/4Un ^2
= Un^6 +4 / 4Un ^2
réagis à la remarque de carpediem déjà ...
prendra le relais qui peut en fonction des connexions
aujourd'hui, pire que tout pour le site...
désolée
le passage de la première à la deuxième ligne est exact ... mais ne nous intéresse pas car c'est le fait d'être positif ou non qui nous intéresse
le passage de la 2e à la 3e ligne pose le même pb et est faux
donc la 4e est peut-être vraie mais non prouvée
et ce qui nous intéresse c'est uniquement u(n + 1) > 0
carpediem
Pour l'hérédité, j'ai supposé que un>0 était vrai donc j'ai cherché à démontrer Un+1 >0. J'ai abouti à Un+1 > Un ,sachant que j'ai supposé que Un >0 dans mon hypothèse de récurrence, je peux dire que si Un+1 > Un, alors Un+1 >0.
Dans ce cas là, ma propriété est héréditaire et donc j'ai prouver que pour tout entier n, Un >0.
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