Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

démonstration par récurrence

Posté par emi62 (invité) 08-10-06 à 19:23

bonsoir,
l'exercice suivant me pose problème
pour tout entier n non nul, on considère la suite reelle (Un) de terme general Un=1+1/2+1/3+...+1/n

démontrer par récurrence que pour tout n non nul on a U2n supérieur ou égal à n/2

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration par récurrence 09-10-06 à 12:18

Bonjour,

Faut-il vraiment montrer que U_{2n}\ge \frac{n}{2} ?
Ce résultat me semble faux.

Posté par emi62 (invité)re démonstration par récurrence 09-10-06 à 16:44

bonjour,

pour l'exercice que j'avais envoyé hier je me suis trompé dans l'énoncé donc je remet l'énoncé correct:

pour tout entier n non nul, on considère la suite réelle (Un) de terme général Un=1+1/2+1/3+...+1/n

démontrer par récurrence que pour tout n non nul on a U(2^n) est supérieur ou égal à n/2
désolée pour l'erreur

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration par récurrence 09-10-06 à 16:53


Initialisation : je te laisse faire

Coeur de l'hérédité :

3$\begin{array}{rcl} \\ U_{2^{n+1}}&=&1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...++\frac{1}{2^{n+1}}\\ \\ &=&U_{2^n}+\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...++\frac{1}{2^{n+1}} \\ \end{array}
A droite de 3$U_{2^n}, il y a la somme de 3$2^{n+1}-2^n=2^n(2-1)=2^n termes. Chacun de ces termes est minoré par 3$\frac{1}{2^{n+1}}. Donc :
3$\begin{array}{rcl} \\ U_{2^{n+1}}&=&U_{2^n}+\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...++\frac{1}{2^{n+1}}\\ \\ &\ge& U_{2^n}+2^n\times\frac{1}{2^{n+1}}\\ \\ &=& U_{2^n}+\frac{1}{2}\\ \\ &\ge& \frac{n}{2}+\frac{1}{2}\\ \\ &=& \frac{n+1}{2} \\ \end{array}

Posté par emi62 (invité)re 09-10-06 à 16:56

merci Nicolas_75,

bonne fin de journée

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : démonstration par récurrence 09-10-06 à 16:56

Je t'en prie.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !