Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Démonstration par récurrence

Posté par nebuchad34 (invité) 17-10-06 à 15:12

Bonjour,

j'ai un DM à faire, on m'a donné plein de démonstrations par récurrence, mais il y en a trois que je ne sais pa sfaire, car ce sont deux inéquations et un truc très bizarre :

on veut démontrer par récurrence que :

1. Pour tout n *,  (1+)^n >= 1 + n
  ( est un nombre réel positif)

2. Pour tout n ,  2^n > n

3. Pour tout n *,  9 divise (10^n)-1

Merci à celui ou celle qui voudra bien m'éclairer.

Posté par
Roulianere : Démonstration par récurrence 17-10-06 à 15:15

Bonjour,

as-tu essayé au moins ?
la première se fait facilement..

Posté par nebuchad34 (invité)re : Démonstration par récurrence 17-10-06 à 15:23

bien sûr que j'ai essayé, mais je ne sais pa scomment faire dès lors qu'on met des inéquations.
déjà j'ia du mal en temps normal,  le suite set moi on ets aps très amis...

Posté par
Roulianere : Démonstration par récurrence 17-10-06 à 15:31

Je te fais l'hérédité pour la première :

On suppose la propriété vraie pour un entier n, c'est à dire on suppose 3$(1+\epsilon)^n \ge 1+n\epsilon.
Montrons que la propriété est vraie au rang n+1, c'est à dire montrons que 3$(1+\epsilon)^{n+1} \ge 1+(n+1)\epsilon.

On a 3$(1+\epsilon)^{n+1}=3$(1+\epsilon)^{n}\times(1+\epsilon) .

Or, par hypothèse de récurrence, 3$(1+\epsilon)^n \ge 1+n\epsilon.

On a donc 3$(1+\epsilon)^{n}\times(1+\epsilon) 3$\ge (1+n\epsilon)(1+\epsilon), cad : 3$(1+\epsilon)^{n}\times(1+\epsilon) 3$\ge 1+\epsilon+n\epsilon+n\epsilon^2, ou encore :
3$(1+\epsilon)^{n}\times(1+\epsilon) 3$\ge 1+(n+1)\epsilon+n\epsilon^2,

Or n\epsilon^2 \ge 0, donc 1+(n+1)\epsilon+n\epsilon^2 \ge 1+(n+1)\epsilon.

Finalement : 3$\blue \fbox{(1+\epsilon)^{n+1} \ge 1+(n+1)\epsilon}.

Posté par nebuchad34 (invité)re : Démonstration par récurrence 17-10-06 à 15:42

Woow merci,
je n'aurais jamais trouvé ça tout seul.

Posté par nebuchad34 (invité)re : Démonstration par récurrence 17-10-06 à 16:04

je m'excuse d'insister, mais je dois finir ce dm pour demain et je bloque toujours sur le sdeux dernières.

Posté par
Roulianere : Démonstration par récurrence 17-10-06 à 16:15

Pour le 2), le cas n=0 est vérifié.

Montrons par récurrence que, pour tout n \ge 1 , 2^n > n.

- P1 est vrai car 2^1=2>1
- Supposons que la propriété est vraie pour un entier n \ge 1, cad supposons que 2^n > n.
Montrons alors que c'est vrai pour  n+1, cad montrons que 2^{n+1} > n+1.

On a 2^{n+1}=2\times2^n. Or par hypothèse, 2^n > n, donc 2^{n+1} > 2n.
Or 2n=n+n\ge n+1, donc 2^{n+1} > n+1.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !