En fait on va montrer par récurrence que pour tout entier naturel
non nul,
f⁽ⁿ⁾(x) = xcos(x + n /2) +n cos (x+(n-1)/2)

Au rang 1 : vérifie que ta formule est vraie

Supposons que la formule soit vraie au rang n et montrons qu'elle l'est
encore au rang (n+1) :
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = [f⁽ⁿ⁾(x)]'
= -x sin(x + n /2) -n sin(x+(n-1)/2)
= -x sin(x+(n+1)/2-/2) -n sin(x+n/2 - /2)

Or sin(x - /2) = - cos x, donc :

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=
x cos(x+(n+1) /2) + ncos(x+n /2)

On a donc montré que la formule est encore vraie au rang (n+1).


Donc : pour tout entier naturel non nul,
f⁽ⁿ⁾(x) = xcos(x + n /2) +n cos(x+(n-1)/2)


Voilà, bon courage ...