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Démonstration par récurrence / Démonstration avec les congruence
Bonjour à tous, je bloque un peu sur un exercice de spé maths
Je dois démontrer que pour tout n appartenant à N.
3n-2n-1 est divisible par 4.
1) Par récurrence
2) avec les congruences : Je dois d'abord montrer que
3^n 
2n+ 1 [4]
3n (-1)n [4], puis que
2n+1 (-1)n [4]
1) par récurrence, j'arrive a 4(-1+k)-2, et je ne sais pas comment continuer ensuite, pour enlever le -2. Je ne sais même pas si j'ai bon...
2) Là je bloque complétement, je n'arrive même pas a trouver la premiere équivalence...
J'aimerai un peu d'aide s'il vous plait 
bonsoir
1) récurrence
soit A(n)=3^n-2n-1
A(n+1)=3^(n+1)-2(n+1)-1
=3(3^n)-2n-3
=3(A(n)+2n+1))-2n-3
=3A(n)+4n
donc si 4|A(n) alors A|A(n+1)
initialisation:
A(0)=1-0-1=0 donc 4 divise A(0)
héridité
supposons que 4|A(n)
comme A(n+1)=3A(n)+4n alors 4 divise A(n+1)
donc par récurrence qq soit n 4|A(n)
2) congruence
3=3 (4)
3²=1 (4)
donc
3^2p=1 (4) donc A(2p)=1-4p-1 (4) donc A(2p)=0 (4) donc 4|A(2p)
3^(2p+1)=3 (4) donc A(2p+1)=3-4p-2-1 (4)=0 (4) donc 4|A(2p+1)
3) Directement
A(n)=3^n-1-2n
=(3-1)(3^(n-1)+3^(n-2)+...+3²+3+1)-2n ; il y a exactement n terme 3^k
=2[3^(n-1)+3^(n-2)+...+3²+3+1-2n]
=2[(3^(n-1)-1)+(3^(n-2)-1)+...+(3²-1)+(3-1)+(1-1)] ; j'ai distribué n sur les 3^k
=2[2(3^(n-2)+...+3²+3+1)+2(3^(n-3)+...+3²+3+1)+...+2(3+1)+2+0]
=4[(3^(n-2)+...+3²+3+1)+(3^(n-3)+...+3²+3+1)+...+(3+1)+1]
donc 4 divise A(n)
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