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démonstration par récurrence dm Tes

Posté par gthekiller (invité) 22-03-05 à 22:18

Voici l'énoncé: La suite (Un) est définie par: Uo=5 et Un+1=1/2(Un+2/Un)
Calculer à la calculatrice U1, U2, U3

Je trouve sans probléme U1=27/10; U2=929/540; U3=1446241/1003320

Quel semble être le sens de variation de la suite? Le démonstrer par récurrence.

J'en déduis bien sur que la suite est décroissante mais je bloque au niveau de la récurrence. Dans l'étape 2, j'ai donc Un+1Un , mais en transformant je n'arive pas à tomber sur 1/2(Un+1+2/Un+1)1/2(Un+2/Un) pour déduire que Un+2 Un+1.

Pouvez vous m'aider? Merci à tous

Posté par
dad97 Correcteurre : démonstration par récurrence dm Tes 22-03-05 à 23:06

Bonsoir gthekiller,

L'expression de ta suite n'est pas très clair s'agit-il de

4$\rm U_{n+1}=\frac{1}{2}\times\frac{U_n + 2}{U_n}

auquel cas comment trouves tu U_1=\frac{27}{10}

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : démonstration par récurrence dm Tes 22-03-05 à 23:08

ah !!!
Ta suite est 4$\rm U_{n+1}=\frac{1}{2}\times (U_n%20+\frac{2}{U_n})

Posté par
dad97 Correcteurre : démonstration par récurrence dm Tes 22-03-05 à 23:21

Re,

3$\rm U_{n+2}-U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_{n+1}-\frac{2}{U_{n+1}})-\frac{1}{2}(U_n-\frac{2}{U_n})

3$\rm =(U_{n+1}-U_n)\times \frac{1}{2}(1+\frac{2}{U_n\times U_{n+1}})

il est assez facile de montrer que les termes de la suite sont toujours positifs si bien que U_{n+2}-U_{n+1} est du même signe que 3$\rm U_{n+1}-U_n

et par conséquent 3$\rm U_{n+1}-U_n est du même signe que 3$\rm U_1-U_0<0

Salut

Posté par gthekiller (invité)re : démonstration par récurrence dm Tes 23-03-05 à 15:07

Oui désolé, la suite est bien

4$ U_{n+1}=\frac{1}{2}\times(U_n+\frac{2}{U_n})
Merci pour votre réponse, par contre celle-ci ne correspond pas au démonstration par récurance que je fais en cours. Je dois faire trois étapes: Prouver que la propriété est vraie au premier rang, donc dans ce cas que 4$ U_1 \le U_0.
Puis ensuite je dit: On suppose qu'il existe un rang pour lequel
4$ U_{n+1} \le U_n , montrons qu'alors 4$ U_{n+2} \le U_{n+1}.
C'est cette étape que je n'arrive pas.

Merci à ceux qui tenterons de m'aider.

Posté par
dad97 Correcteurre : démonstration par récurrence dm Tes 23-03-05 à 16:41

Re,

Et bien par le petit calcul proposé dans mon précédent post :

En ayant montré péalablement que tous les termes de la suite sont positif.

Soit Hn la propriété : "3$\blue\rm U_{n+1}-U_n<0"

* 3$\rm H_0 est vrai (il suffit de faire la calcul de 3$\rm U_1-U_0)

*soit n un entier tel que 3$\rm U_{n+1}-U_n<0 montrons qu'alors 3$\rm U_{n+2}-U_{n+1}<0

Or on a 3$\rm%20U_{n+2}-U_{n+1}=(U_{n+1}-U_n)\times%20\frac{1}{2}(1+\frac{2}{U_n\times%20U_{n+1}})

comme la suite est une suite à terme positif, on en déduit que le signe de 3$\rm U_{n+2}-U_{n+1} est le même que celui de 3$\rm U_{n+1}-U_n or par hypothèse Hn est vérifiée donc on en déduit que 3$\rm U_{n+2}-U_{n+1}.

* Par conséquent pour tout n dans N, 3$\rm U_{n+1}-U_n<0

Et on viens donc de démontrer que la suite (Un)n est décroissante.

Salut

Posté par
dad97 Correcteurre : démonstration par récurrence dm Tes 23-03-05 à 16:43

Lire : donc on en déduit que 3$\rm%20U_{n+2}-U_{n+1}<0


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