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Démonstration par récurrence / fonction racine carré
Bonjour
Voici l'énoncer du problème
Soit (un) définie par u0 et un+1 = f(un) avec :
Question 1 : Montrer par récurrence que pour tout n de N, un+1 < un
Question 2 : En déduire que (un) converge vers un réel a, solution de l'équation f(x) = x
Merci beauciup de votre aide
Pardon j'ai oublié de vous indiquer où j'en était :
pour n = 0 on a u1 - u0 = 0,0824 - 1 < 0
On admet la proposition un+1 < un
on calcule pour un+2 - un+1
et la je vois pas comment aller plus loins..
bonjour alb12
La fonction est croissante sur l'intervalle [1/2 ; 1], on l'a calculé plus tôt dans l'exercice
Donc on a
si a < b --> f(a) < f(b)
si un+1 < un alors f(un+1) < f(un) ou encore un+2 < un+1
Aussi simple que ça? pas de calcul?
Vous êtes sûr de chez sûr? C'est vrai que dit comme ça, ça parait logique et correct, mais bon moi je voyais quelque chose de bien pire niveau rédaction 
Question 2 :
On sait que un est compris entre 1/2 et 1 et que un+1 < un.
On a donc une suite qui converge vers une valeur a < u0 à savoir 1.
Par contre j'ai du mal à voir le rapport avec l'équation f(x) = x ?
u(n) tend vers a donc f(u(n)) tend vers f(a) car f est continue en a
u(n+1) tend vers a
Or u(n+1)=f(u(n)) donc a=f(a)
tu n'as pas donne ton enonce en entier
on peut montrer que les termes de la suite et donc a sont entre 1/2 et 1
or f est continue sur [1/2;1]
donc f continue en a
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