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Démonstration par récurrence, solution alternative
Bonjour, je viens de terminer l'exercice suivant :
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
Initialisation :
P(5) est vraie.
Hérédité : Supposons P(n) vraie avec n>=5
On a :
Et :
Aussi, nous remarquons(toujours avec n>=5) que
et
Alors
Ce qui amène
en multipliant chaque membre de l'inégalité par n(l'ordre est conservé car n est positif).
On a donc :
Et plus particulièrement :
Ce qui amène finalement :
Conclusion :
P(5) est vraie et P(n) est héréditaire, ainsi P(n) est vraie pour tout n>=5.
Voilà, je trouve ma démonstration compliqué pour ce qui est démontré, j'ai l'impression qu'il y avait plus simple et que je suis passé à côté.
Si vous pouvez m'aiguiller je suis preneur !
Par ailleurs si vous avez des conseils sur la rédaction je prends aussi bien entendu !
Voilà merci !
Bonjour,
Il n'y a pas de démonstration très simple pour l'hérédité.
Un conseil pour la rédaction :
Définir P(n) avant de parler de P(5) ; autrement dit, avant l'initialisation.
Si tu veux vraiment quelque chose de plus "naturel" pour l'hérédité, on peut commencer par 2n+1 > 2n2 puis démontrer 2n2 > (n+1)2 en transformant la différence 2n2 - (n+1)2.
salut
oui et pour compléter la réponse de Sylvieg : le calcul de la différence qu'elle te demande conduit exactement à tes manipulations ... qu'on peut simplifier cependant pas l'étude directe d'un trinome
Ok Sylvieg ! Merci !
Oui je présente la propriété avant l'initialisation habituellement ; une étourderie !
carpediem ; Ok merci ! Oui je comprends ; n2-2n-1 est du signe de x, sauf entre ses racines si elles existent, en les calculant, on déduit l'intervalle sur laquelle le trinôme est positif etc
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