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Démonstration par récurrence sur dérivée
Bonjour,
On considère la fonction: f(x)=(1 - 2x)e2x
Montrer par récurrence que f(n)(x)=2n(1 - n - 2x)e2x
Vrai au rang n=1:
f'(x) = u'v + uv' = -2 e2x + (1 - 2x) 2 e2x
=-2 e2x + 2 e2x - 2x * 2 e2x = -4x e2x
f(1)(x)=2 ( 1 - 1 - 2x) e2x
= -4x e2x
Supposons vrai au rang n et montrons vrai au rang n+1:
f(n+1)(x) = 2(n+1)(1 - (n+1) -2x) e2x
=2(n+1) ( -n -2x ) e2x
On calcule la dérivé de f(n)(x): (2n(1 -n -2x) e2x)'=
On a quelque chose de la forme u x v x w.
J'ai tenté de faire (u'v + uv') x w + (u x v) x w'
mais ça devient inextricable et je me perds dans les calculs.
salut
On calcule la dérivé de f(n)(x): (2n(1 -n -2x) e2x)'=
On a quelque chose de la forme u x v x w.
J'ai tenté de faire (u'v + uv') x w + (u x v) x w'
mais ça devient inextricable et je me perds dans les calculs. alors il faut prendre un brouillon et penser à factoriser au maximum
Effectivement 2n est un entier donc on a plus que k * u * v
( 2n (1 - n - 2x ) e2x )'
=2n ( -2 ) e2x + 2n ( 1 - n - 2x) 2 e2x
= -2n+1e2x + 2n+1 e2x -n 2n+1 e2x - 2x 2n+1 e2x
= 2n+1 ( - n - 2x ) e2x
On donc démontré que c'est également vrai au rang n+1
Question2):
Pour tout entier naturel n non nul, la courbe représentatrive de f(n) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en un point Mn
a) Calculer les coordonnées (xn;yn) de Mn
Je prends l'équation de la tangente: Ta=f'(a)(x-a)+f(a)
Soit: -4x e2x(x-a) + (1-2x) e2x
= -4x2 e2x + 4ax e2x + e2x -2x e2x
= (-4x2 + 4ax + 1 - 2x) e2x
= ( -4x2 + (4a - 2) x + 1) e2x
Il ne me reste plus qu'à chercher les racines de cette équation du second degré et à faire un tableau de variations ?
Je pars dans la bonne direction ?
Je vais être bloqué avec le a qui est inconnu ?
Bonjour,
ne prend pas une tangente quelconque
" une tangente parallèle à l'axe des abscisses " 
la dérivée s'annule donc ici f(n+1)(x) = 0 à résoudre
il n'y a pas de a
Effectivement 2n est un entier donc on a plus que k * u * v
( 2n (1 - n - 2x ) e2x )'
=2n ( -2 ) e2x + 2n ( 1 - n - 2x) 2 e2x pourquoi ne pas garder 2^n en facteur du tout : (kuv)' = k(uv)' = k[u'v + uv']
= -2n+1e2x + 2n+1 e2x -n 2n+1 e2x - 2x 2n+1 e2x
= 2n+1 ( - n - 2x ) e2x = 2n + 1[1 - (n + 1) - 2x]e2x est le résultat qu'il faut obtenir donc écrire !!
On donc démontré que c'est également vrai au rang n+1
Question2):
Pour tout entier naturel n non nul, la courbe représentatrive de f(n) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses en un point Mn
a) Calculer les coordonnées (xn;yn) de Mn
Je prends l'équation de la tangente: Ta=f'(a)(x-a)+f(a) ceci est faux !! l'équation (réduite) de Ta est y = f(a) + f'(a) (x - a) : c'est une relation entre les coordonnées x et y !!
Soit: -4x e2x(x-a) + (1-2x) e2x
= -4x2 e2x + 4ax e2x + e2x -2x e2x
= (-4x2 + 4ax + 1 - 2x) e2x
= ( -4x2 + (4a - 2) x + 1) e2x
Voici ma réponse pour la question a) Calculer les coordonnées (xn;yn) de Mn
Pour trouver le point ou la tangente à f(n) est parallèle à l'axe des abscisses on cherche la valeur pour laquelle sa dérivée est nulle. C'est à dire que l'on doit résoudre l'équation f(n+1)=0
Soit f(n+1)=2n+1(1 - (n + 1) -2x) e2x = 0
2n+1 étant strictement positif et e2x également on peut simplement résoudre: 1 - (n + 1) -2x = 0
soit 1 - n - 1 - 2x = 0
soit x = -n / 2
On a donc xn = -n / 2
Pour trouver y, on calcule fn(-n / 2)
=2n (1 - n -2 (-n/2) ) e2 (-n/2)
=2n ( 1 ) e-n
= 2n e-n
On a donc M( -n/2 ; 2n e-n ).
Question b) Vérifier que la suite xn est une suite arithmétique dont on calculera son premier terme.
xn= -n/2
x0 = -0 / 2 = 0
La raison de la suite est r = xn+1 - xn
= -(n+1) / 2 - (-n)/2
= ( -n - 1 +n ) / 2
= -1 /2 c'est donc une suite arithmétique
Question c) Vérifier que la suite yn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme.
yn= 2ne-n
y0= 20e-0 = 1
La raison de la suite est k = yn+1 / yn
= ( 2(n+1)e-(n+1) ) / 2ne-n
= ( 2*2ne-1e-n ) / 2ne-n
= 2e-1
Est-ce correct ?
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