Bonjour à tous !

Je fais spécialité math, et je suis un peu perdu au niveau des démonstrations...Notre prof nous a donné des exercices à faire et je voudrais un peu d'aide svp :

Exercice 1 - Utilisation de la récurrence
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.

b) Démontrer par récurrence quie pour tout entier naturel non nul n,
=

Exercice 2 - Démonstration par disjonction
a et b désignent des entiers naturels.
(P) désignent la proposition "ab(aSmilie-bSmilie) est divisible par 3"

2.1 Cas où a ou b est multiple de 3.
Démontrer que la propriété (P) est vraie.

2.2 Cas où a et b ne sont pas multiples de 3.
2.2.1 Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.

2.2.2 Démontrer que a²-b² est divisible par 3 dans chacun des cas :
a=3k+1 ; b=3k'+1
a=3k+1 ; b=3k'-1
a=3k-1 ; b=3k'+1
a=3k-1 ; b=3k'-1

2.2.3 En déduire que la proposition (P) est vraie.
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Ce que j'ai fait :

J'ai réussi à faire le
- 1)b)
- 2)2.1)
- 2)2.2)2.2.2)

1)a) J'ai montré pour n=0 que n(n+1)(2n+1) est multiple de 6 mais je ne sais vraiment pas comment faire pour P(n+1) :
Je sais que (n+1)(n+2)(n+3) est multiple de 6.
Je note P(n) = n(n+1)(2n+1)
Donc P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)
Quelqu'un m'a dis qu'il faut étudier la différence P(n+1)-P(n), ce que j'ai fais :
P(n+1)-P(n) = (n+1)(n+2)(2n+3) - [n(n+1)(2n+1)]
= (n²+3n+2)(2n+3) - [(n²+n)(2n+1)]
= (2n3 +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) - [(2n3 + n² + 2n² + n)]
= 2n3 + 9n² + 13n + 6 - (2n3 + 3n² + n)
= 2n3 + 9n² + 13 n + 6 - 2n3 -3n² + n
= 6n² - 12 n + 6
= 6[n² - 6n + 1)

P(n+1)-P(n) € N, et est bien divisible par 6.
La propriété est donc bien héréditaire.
On a donc pour tout n € N, n(n+1)(2n+1) multiple de 6.

Mais en fait, je ne sais pas vraiment pourquoi on a étudié la différence P(n+1)-P(n).

Pour le 1)b) j'ai montré P vraie pour n = 1 et ensuite pour P(n+1).

Pour 2)2.1) j'ai distingué 3 cas:
1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
3è cas : a = 3k ; b=3k'
A chaque fois j'ai pu factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.
Mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autre? :
a=3k ; b=3k'-1 ?
a=3k-1 ; b=3k' ?


Pour la 2)2.2)2.2.1), Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
Comment dois je l'expliquer?

Pour 2)2.2)2.2.2) J'ai remplacé a et b par les valeurs donner, et à chaque fois j'ai pu ausi factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.

Pour la 2)2.2)2.2.3), je dois simplement dire que puisque a²-b² est divisible par 3, donc ab(a²-b²) est aussi divisible par 3. (Mais il n'y a pas de "car"... ?) ?


Merci de m'aider !