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Démonstration récurrence

Posté par
elif77 07-09-16 à 19:37

Bonjour j'ai un dm se maths à faire mais je n'y arrive pas merci pour votre aide

On considère la suite (Sn) défini sur N par Sn= sigma avec k =1 :1/k (k+1)

1) calculer les 3 premier termes de la suite
2) écrire dans le langage de votre calculatrice un algorithme permettant de déterminer pour tout entier naturel non nul n choisi par l'utilisateur la valeur de Sn
Vérifier votre algorithme en calculant S3 avec celui ci

3) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul : Sn=n/n+1
4) une autre méthode pour exprimer Sn en fonction de n

A) démontrer que pour tout entier naturel non nul k :
1/k (k+1) = (1/k) - (1/k+1)

B) En déduire alors le résultat déterminer à la question 3)

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 07-09-16 à 21:54

S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}

tu as calculé les 3 premiers termes ?
S1 = 1/(1+1) = 1/2
S2 =1/(1(1+1)) + 1/(2(2+1)) = 1/2 + 1/6 = 2/3, ça n'a rien de très difficile

Citation :
2) écrire dans le langage de votre calculatrice un algorithme

lance toi un peu, les algorithmes, il faut se battre un peu avec

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 07-09-16 à 22:14

Merci beaucoup et S0 je sais pas comment trouver
Et pour l'algorithme j'ai essayé mais je comprends vraiment pas merci pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 07-09-16 à 23:08

S0 n'est pas défini, d'ailleurs on te dit que k commence à 1
la suite commence à 1

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 08-09-16 à 07:20

Ah d'accord merci beaucoup
Es ce que vous pouvez m'aider pour l'algorithme svp

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 08-09-16 à 10:51

tu fait une boucle Pour k allant de 1 à n
qui calcule 1/(k(k+1)) et qui l'ajoute à une variable S
en sortie de boucle tu affiches S

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 08-09-16 à 11:58

Merci beaucoup j'ai réussi à le faire pouvez m'aider pour la suite svp

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 08-09-16 à 13:22

3) démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul : Sn=n/(n+1)

Bon tu connais les raisonnements par récurrence ?
initialisation, hérédité, as-tu essayé quelque chose ?

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 08-09-16 à 20:21

Initialisation
Pour n=0 on a 0/0+1=0
Donc propriété vrai

Herediter

Montrons que quelques soit n>=0
Si Sn: n/n+1
Alors Sn+1: n+1/n+2

On suppose n quelconque

Après j'y arrive pas

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 08-09-16 à 22:25

S_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}+ \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}
maintenant on utilise l'hypothèse de récurrence
S_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} =\dfrac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n+1}{n+2} et donc la formule est bien vérifiée pour n+1

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 09-09-16 à 19:37

Merci beaucoup pouvez vous m'aider pour la suite svp

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 09-09-16 à 22:40

C'est quoi la suite ? , 1/(k (k+1)) = 1/k - 1/(k+1) c'est pas bien compliqué, mets 1/k - 1/(k+1) au même dénominateur

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 10-09-16 à 19:32

Je trouve

K+1-k/k (k+1)

Merci beaucoup es ce que vous pouvez m'aider pour la suite svp

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 10-09-16 à 19:40

Remplace chaque terme de la somme de la forme 1/k (k+1) par 1/k - 1/(k+1) et regarde les termes qui s'annulent

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 10-09-16 à 20:08

Desolé mais j'ai pas compris

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 10-09-16 à 22:42

S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}}
je t'ai suggéré de remplacer chaque terme \dfrac{1}{k(k+1)}} par \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1}
tu peux difficilement comprendre si tu n'essayes pas
écris la somme sous la forme :
S_n=(\dfrac{1}{1} -\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3})+....+(\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n})+(\dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{n+1})
tu vois qu'il y a des termes qui se simplifient ? qu'est-ce qui reste ?

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 10-09-16 à 23:13

Excusé moi mais je ne comprends pas quand vous demander de remplacer merci pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 10-09-16 à 23:16

tu as bien démontré que \dfrac{1}{k(k+1)}} = \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1} ?

donc il est assez naturel de se dire que l'on t'a fait démontrer ça pour que tu remplaces chaque terme de la somme \dfrac{1}{k(k+1)}} par \dfrac{1}{k} -\dfrac{1}{k+1} non ?

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 11-09-16 à 09:49

Je trouve

K+1-k/k (k+1)
Es ce que c'est correct?

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 11-09-16 à 11:33

simplifie k-k, il reste bien 1/(k(k+1))

Posté par
elif77re : Démonstration récurrence 11-09-16 à 20:46

Du coup après trouver 1/k (k+1) je dois faire quoi

Posté par
Glapion Moderateurre : Démonstration récurrence 11-09-16 à 22:59

tu plaisantes, j'ai pratiquement répondu à toutes tes questions !


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