Bonjour

Déjà dans la position du problème, la deuxième ligne ne va pas du tout… k n'existe pas si a = 1, et d'autre part la suite (u_n) est constante égale à u_0, ce n'est certainement pas utile pour la démonstration…

En général on calcule le point fixe et on pose la suite différence de (u_n) avec le point fixe (c'est votre k, mais il y a des conditions à préciser et une résolution propre à faire).

Oui je précis cette démo que je considere a et b entier naturel supérieur à 0

En général un entier naturel c'est supérieur à 0.

D'accord, mais il y a toujours un problème avec ce u_n. Et d'ailleurs si vous le connaissez déjà, il n'y a pas de démonstration à faire...

Et 1 est un entier naturel au passage...

Le point fixe c'est la démo "habituelle" (celle qui ce trouve sur wikipedia) en gros on cherche à réduire la complexité l'ambiguité de la suite grâce à une "simplification de celle-ci" grâce à une fonction?

Désolé je ne comprends pas ce que vous dites… ni où vous voulez aller.

Quelle complexité ? quelle ambiguïté ? quelle fonction ? quel est le problème précisément ?

Euh une démonstation sur wikipedia fait intervenir une fonction affine pour exprimer k et je suppose que c'est peut-être ça le point fixe

Bon toujours pas de tentative de clarification ? c'est légèrement énervant, j'arrête de répondre tant que l'énoncé n'est pas repris.

Non ne vous embêtez pas j'ai fais une recherche sur les points fixes c'était bien ce que je pensais ma démo n'est tous simplement pas rigoureuse

salut

incompréhensible ...

soit la suite définie par son premier terme et la relation de récurrence

si a = 1 la suite est arithmétique et c'est fini
si a <> 0 et b = 0 la suite est géométrique et c'est fini

si a <> 1 l'idée est de chercher une suite définie par et telle que la suite est géométrique

1/ doù vient cette idée : je ne sais pas ...

2/ il se trouve alors que la raison est a et que c est la solution de l'équation x = ax + b (condition nécessaire : a <> 1)

3/ il se trouve que cette valeur est le point fixe (i.e. : si alors : la suite est constante) et la limite de cette suite ...

tout le reste n'est que charabia et verbiage creux .....

Non il faut retirer le point fixe, pas l'ajouter.

Et l'idée vient de l'envie assez naturelle qu'on peut avoir de se ramener à une suite géométrique tout simplement.

(v_n) est géométrique <=> b + (1 - a)c = 0 <=> c = b/(a - 1)

bon ... à un signe près ...


oui l'idée est naturelle d'essayer évidemment une suite arithmétique (qui ne marche pas) et plus évidemment une suite géométrique vu ce facteur a ...

mais qui en a eu l'idée ?

Oui donc avec ton truc c c'est - le point fixe, pas le point fixe.

Ah oui, l'histoire des suites arithmético-géométriques ! aucune idée personnellement, si quelqu'un a des infos je suis preneur.

Oui c'est ca que j'essayais de faire,j'ai eu cette idée quand en classe on a eu un exercie sur un cas particulier de suite arithmetico-geometrique.
On nous donne directement une suite auxiliaire par exemple   on nous donne Vn=Un + r (biensur le r qui convient)
Et il s'avère que dans les 2-3 exerces qu'on a fait en classe la suite Vn était toujours géométriques.J'ai donc tenté de généraliser ceci
Ma démo consistait donc à supposer une suite géométrique Vn qui soit exprimable en fonction de Un par l'ajout d'un nombre.
Et par un trafic d'égalité réussir à exprimer Un en fonction de n a et b

On faisait ce "trafic" d'égalité pour dans les exos pour des cas particulier,j'ai tenté de le faire littéralement

Oui ça se fait dans le cas général. carpediem a appliqué le principe plus haut.

Si vous voulez vraiment le faire avec u_n + r, où r est l'opposé du point fixe de la suite u, alors vous écrivez v_{n+1} = u_{n+1} + r = a*u_n + b - (a*r + b) car r = a*r + b, les b se simplifient et on obtient a*v_n…

d'accord je vois c'est vrai que c'est beaucoup plus rigoureux que mon truc et surtout beaucoup plus rapide.
J'ai un autre question qui est à moitié hors contexte mais bon...
Est-ce qu'on peut généraliser cette méthode pour les suites linéaires n_ième car pour  les suites linéaires d'ordre 2.on se ramène à une équation de deuxième degré (http://www.prepacom.net/archive/math/TD/enonces/suites/outils.pdf)

On peut supposer que certaines suites linéaires ne sont pas exprimables explicitement(si l'équation n'est pas résoluble par radicaux)?

Les "suites linéaires n_ième" ? Connais pas…
Et aucun rapport entre suites arithmético-géométriques et suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (si ce n'est que ce sont des suites) donc il ne s'agit pas de généraliser quoi que ce soit.

Généraliser la méthode du point fixe,pour la suite linéraire d'ordre 2 on a une équation caractérisque de degré 2 donc une suite linéaire d'ordre 3 aurait une équation de degré 3 etc
Pour la suite d'ordre 2 on a une équation 'générale" de degré 2 de meme que pout l'ordre 1
Donc Je suppose pour une suite linéaire d'ordre 5 ,on aboutirait à une équation générale de degré 5 ,on ne pourrait donc pas exprimer les solutions de cette équation  par radicaux et a fortiori ne ne pas pouvoir  exprimer cette suite de manière explicite

Oui certes… mais bon, même au degré 3, c'est déjà lourd : vous connaissez les formules de Tartaglia-Cardan par cœur vous ?

Avec un peu d'algèbre linéaire ça se fait très bien à l'ordre p (grâce à la structure d'ev de l'ensemble solution)… en théorie néanmoins (le calcul pratique peut devenir technique et/ou lourd quand on se retrouve avec des déterminants à la chaîne ou des puissances de matrices).

Je ne comprends pas la deuxième partie(loin de mon niveau je penses ) ,l'ordre p ca veut dire ordre un nombre premier ? et grâce à   structure de l'ensemble solution on exprimer les racines de l'équation??? ou la suite?

Non p quelconque supérieur ou égal à 2. Pas besoin de s'intéresser à l'équation justement !

Quel est votre niveau au juste ? parce que j'ai l'impression que vous vous intéressez à des choses qui vous dépassent un peu (ce qui n'est pas dépourvu de mérite, mais peut vite vous embrouiller).

Je suis en 1ere S Beaucoup interressé par les polynômes (avec un minimum de connaissance dessus),cette fin d'année j'ai découverts les suites en classes  et ca m'interesse  beaucoup mais je n'y connais pas vraiment grand chose (à part les cours de 1ere)

Ah oui… là on tape sur du programme de L1 (à la limite, fin de terminale). Pas très à portée dans l'immédiat.

ouais mon prof me dit savant souvent mais bon...je tente après certaines choses très dures sont parfois plus à porté .Genre la théorie de galois,les cours sur internet sont la plupart basé sur des concepts mondernes de cette théorie et là je ne pige presque rien(cour Polytechnique) mais d'autre font une approche plus historique et intuitive (cour Ens).
Donc c'est sur que si il faut que je me tapes des cours d'algèbre pure pour les suites c'est sur que c'est un peu compliqué

Bonsoir,

@markty0,

Si tu jetais un coup d'œil a ce que carpediem t'a posté.

Bonjour

Pour mener une démonstration qui tienne la route il faut savoir :

- quelles sont les hypothèses de départ
- quelle est la conclusion à laquelle on souhaite arriver.

Rien de tout cela a été précisé par la personne qui a posté le sujet !

On est d'accord : "Démontrer une suite" ne veut rien dire.

Essayer de deviner un éventuel contenu mathematique du premier post relève de la magie ou de la lecture de cartes ou de lignes de la main ou de l'interrogatoire d'un génie d'une lampe magique.

Ce n'est pas la démonstration qui n'est pas rigoureuse c'est la démarche qui aurait dû être mathematique et qui ne l'est pas.

hypothèse de départ, on a une suite qui vérifie la relation de récurence Un+1=aUn+b avec a réel différent de 0 et b réel différent de 0 et 1

conclusion ,on on veut arriver réussir à exprimer cette suite de manière explicite
Un=(U0+...)

La démonstration est:"une suite vérifiant la relation de récurrence Un+1=aUn+b s'exprime explicitement  de cette façon:Un=...)

La démo:
On cherche une suite Vn qui réponde à ces deux conditions:Vn est géométrique et Vn=Un+c avec c un réel.

Ensuite ,(je ne lis pas les cartes pour ceux qui suit,j'adopte simplement un raisonnement similaire qu'on adopte pour les exercices sur les suites arithmetico-geometrique qu'on fait en classe.)
Grâce aux relations entre Vn, Un,Vn+1 et Un+1 on arrive à une égalité (tout comme les exos en classes sauf qu'ici c'est des quantités littérales):

Cette égalité est valable pour tout n

k(q-1)+b est une quantité  constante donc le membre de l'égalité de gauche doit être aussi constant OR Un+1 est une suite non constante .Donc La seule possibilité pour que le membre de gauche soir constant  est que a-q=0

Ainsi par les relations entre Vn...
On arrive à exprimer Un de manière explicite

ps:ma démo n'est pas complètement fausse car on arrive bien au résultat cherché