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démonstration trigonométrique
bonjour, j'ai présenté un examen d'admission et j'ai malheureusement raté une matiere sur trois... je dois donc la représenter... pour s'y préparer quoi de mieux que de refaire l'examen que j'ai échoué en préparation.
une question me pose cependant problème:
"démontrer que le triangle ABC est équilatéral si les conditions suivantes sont remplies : (b3+c3)/(b+c) = a2
et Sin(B).Sin(C) = 3/4"
J'arrive a un moment a une equation angulaire de type " sin2(B) + sin2(C) - sin2A = 3/4
ou je sais que 3/4 vaut sin2 (
/6)
Bonjour,
b3 + c3 se factorise par (b+c) : b3 + c3 = (b+c) ( ... )
Utilise ensuite a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
Tu vas en déduire cos A
bonjour, un retour assez rapide car je rencontre une nouvelle difficulté :
Soit un triangle ABC vérifiant la propriété suivante : b = c.(1 +2cos(A ))
Montrer que dans ce cas A = 2C.
j'arrive a une expression type : tan(A) - 1/tg(C) = 1
comment puis-je continuer ?
Merci d'avance
Normalement, un exercice par topic...
Par le calcul, je ne vois pas trop. Par contre une figure, avec le triangle et une hauteur bien choisie pour faire apparaître c
cosA , permet d'aboutir.
Pour ma part, j'aboutis à b/c = sinA/tanC + cosA = 1 + 2cosA .
En réduisant la deuxième égalité et en y remplaçant A par 2C , on constate qu'elle devient une identité.
bonjour pouvez vous développer votre raisonnement parce que je ne parviens pas a y aboutir :/
Merci d'avance.
Relation des sinus dans le triangle ABC :
sinB / b = sinC / c
b/c = sinB / sinC = sin(A + C) / sinC = (sinAcosC + sinCcosA)/sinC
= sinA / tanC + cosA .
Or, on a, d'après l'énoncé
b/c = 1 + 2cosA .
D'où
sinA / tanC = 1 + cosA , soit
1 / tanC = (1 + cosA) / sinA .
En remplaçant A par 2C , on aboutit à une identité, ce qui montre que A est bien égal à 2C.
En remplaçant A par 2C , on aboutit à une identité, ce qui montre que A est bien égal à 2C.
Franchement douteux !!!
On peut aussi, dans la dernière égalité, exprimer son deuxième membre en fonction de l'angle moitié A/2.
j'ai suivi le conseil de priam mais par la suite j'ai isolé les A et les C chacune d'un coté de l'egalité et par application de Carnot et de la loi fondamental on abouti a une égalité ou A=2C
Voilà comment j'ai fait avec les conseils de Priam :
tanC = sin A / (1 + cosA) donne tanC = 2sin(A/2) cos(A /2) / ( 2 cos2(A/2) ) . D'où tanC = tan(A/2).
Sinon géométriquement : Utiliser H le pied de la hauteur issue de B ; et K le symétrique de A par rapport à H . On a alors KC = b - 2c cos A = c .
Le triangle BCK est donc isocèle en K ; son angle en B est donc égal à C .
B = C + (
- 2A) .
De plus, dans le triangle ABC on a B = - A - C .
Facile de terminer.
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