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Démontrer formule devinée par récurrence (suites)
Bonjour à tous !
Je poste ce sujet après avoir lu avec attention un autre topic, très ressemblant, mais dans lequel les étapes n'étaient pas détaillées et j'aimerais beaucoup comprendre.
La suite (un)n2N est définie par :
u0 = 1, u1 = 2, et pour tout n naturel, un+1 = Un²/Un-1.
Calculer u2, u3, u4. Deviner ensuite une formule pour un. Démontrer finalement la formule devinée par récurrence.
u2, u3, u4, facile, il suffit de remplacer u2 = 4 u3 = 8 et u4 = 16.
On peut donc facilement conjecturer Un = 2^n.
Mais lorsqu'il s'agit de le démontrer par récurrence, tout se complique. J'arrive sans trop de problème à faire ça :
Un+1 = Un²/Un+1 <==> Un+1/Un = Un/Un-1
(ce qu'un autre topic a confirmé), mais une fois là, je ne sais comment justifier proprement que Un = 2^n, j'ai l'impression de rater une marche, alors que ça semble logique dans ma tête.
Si quelqu'un voulait bien m'éclairer, ce serait très gentil.
Je vous remercie d'avance et vous souhaite à tous une agréable soirée.
Dans une démonstration par récurrence, il y a toujours 2 étapes qui s'appellent l'i... et l'h...
Et pour la 2ème étape, la rédaction est toujours la même.
Soit n un entier, supposons que ...
et montrons que ...
Complète les pointillés (=recopie le cours)
Et ensuite, avec ce plan sous les yeux, tu appliques à ton exercice.
Bonjour,
Je me permets d'intervenir pour ajouter quelques chose :
Travailler avec la propriété P(n) : un = 2n ne marche pas.
Soit il faut travailler avec P(n) : un-1 = 2n-1 et un = 2n, soit il faut utiliser un théorème plus "fort" sur la récurrence.
Autre possibilité :
Tu as vu que un+1/un = un/un-1. Tu peux en déduire, un/un-1 = c, une constante à préciser.
Puis lancer une récurrence classique.
Une remarque :
Pour les exposants et les indices, il y a les boutons X2
et
X2
sous le rectangle zone de saisie.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Re-bonjour,
Tout d'abord, je suis désolée d'avoir pris tant de temps pour vous répondre et vous remercie d'avoir pris le temps de m'aider.
Maintenant, retour au maths : -)
Je rédige donc, ce que j'ai fait au brouillon.
Soit la propriété P(n) "Un-1 = 2n-1 et Un = 2n".
Initialisation : pour n=1 on a :
- Un-1 = U0 = 1 et Un = U1 = 2
et d'autre part :
- 2n-1 = 20 = 1 et 2n = 2
Donc initialisation vérifiée.
Hérédité : Soit n un entier naturel >0.
On suppose que Pn est vraie donc Un-1 = 2n-1 et Un = 2n.
Montrons que Un+1 = 2n+1
Un+1 = (Un)²/Un-1
= (2n)²/(2n-1)
= 22n / 2n-1
Ah, j'ai enfin compris ! En remplaçant par des nombres, cela fonctionne pleinement, donc merci beaucoup, on retrouve le résultat escompté.
Mais je peine tout de même à simplifier 22n / 2n-1 en 2n+1 même si je crois avoir trouvé que ces deux expressions étaient égales.
Enfin, j'ai compris le principe grâce à vos indications, donc merci à vous et bonne soirée.
Bonsoir,
Bravo pour la clarté de ta rédaction.
Pour la simplification finale, utilise la formule ap/aq = ap-q.
Tu peux aussi écrire 22n = 2n-1+n+1 = 2n-1
2n+1.
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