Bonsoir,

As-tu fais une figure pour imager le problème ?
- Si oui essayes donc de raisonner sur les symétrie.
- Si non, commences par en faire une (de préférence à la règle ).

=> Demande toi qu'elles sont les longueurs égales, et ce que tu peux en déduire.

Oui j'ai dessiné la figure. c'est la démonstration qui me pose un problème.

Droite des milieux

Dans un triangle , si une droite passe
par le milieu d'un côté et est parallèle  
à un second côté , alors elle coupe
le troisième côté en son milieu.

OK.

On a donc un parallélogramme ABCD, dont chaque côtés sont parallèles deux à deux. De plus AD=BC et DC=AB. C'est à peu de chose près la définition d'un parallélogramme.

Premier élément : E est le symétrique de B par rapport à C.
Conséquence 1 : Les points B, C et E sont alignés.
Conséquence 2 : BC=CE
Or DC=AB Donc AC=DE

Deuxième élément : F est le symétrique de E par rapport à D.
Conséquence 1 : Les points F, D et E sont alignés.
Conséquence 2 : La droite (DF) est parallèle à la droite (AD).
Conséquence 3 : FD=DE=AC
Or AD=BC=CE (c'est une condition fixée par le parallélogramme).

Donc pour que la "conséquence 2 : FD=DE" soit vérifiée, il faut que FA=AB.
Enfin les conséquence 2 et 3, nous indique que le segment [FD] n'est autre que le segment [AC] translaté en D (donc d'uns distance AB, en direction du point D.
On en déduit que les points F, A et B sont alignés.

Conclusion :F, A et B sont alignés et FA=AB donc F est le milieu du segment [FB].

Correction :

"Conséquence 2 : La droite (DF) est parallèle à la droite (AC)."

"Conclusion : F, A et B sont alignés et FA=AB donc A est le milieu du segment [FB]."

Par ailleurs la réponse de Laje est on ne peut plus claire .

Est-ce que ma figure est fausse ? Car ça ne correspond pas avec vos explications... J'ai du mal.

Bonsoir Matitine.
C est le milieu de [BE] et D est le milieu de [FE] : [DC] est une droite des milieux du triangle EFB.
(DC) est parallèle à (FB); comme (DC) est aussi parallèle à (AB), F, A et B sont sur une même droite.
DC = FB/2; comme AB = DC, AB = FB/2 et A est le milieu de [FB].

bonjour,

ta figure est exacte

ABCD est un //lo, donc AD=BC et (AD)//(BC)

(AD)//(BC) et B, C et E alignés  et BC=CE=AD (symétrique)
donc (AD)//(BE)

dans le triangle FBE
AD)//(BE) et D  milieu de [FE] (symértrique)
or dans un triangle la droite qui passe par le milieu d'1 côté parallèlement à un 2ème côté passe par le milieu du troisième côté
donc (DA) coupe [FB] en son milieu

se milieu est-il le point A, il n'est pas prouvé que F, A et B soit alignés?
mais on a d'autre part :
D milieu de [FE] et c milieu de [BE]---> (théorème de la droite des milieux) (DC)//(FB)

(DC)//(FB)
(AB)//(DC)
donc (AB)//(FB)
or par un point, il ne peut passer qu'une parallèle à 1 droite
donc F, A et B sont alignés

F, A et B sont alignés
(DA) coupe [FB] en son milieu
donc A est le milieu de [FB]

Je vous remercie beaucoup. Je vais revoir tout ça au calme car ma pauvre tete commence à fumer. Bonne nuit et merci !