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démontrer par récurrence 2

Posté par
lou1100 11-09-22 à 14:53

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour comprendre cette récurrence à faire.

Soit Un la suite définie par U0 = 9 et pour tout n ,
Un+1= Un

1. Montrer par récurrence que Un est strictement décroissante

2. Montrer que pour tout n, 0Un 9

1. Initialisation
Pour tout n = 0, U0= 9 et U1=3
Le propriété est vraie pour P(0)

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n) soit vraie, tel que
Un+1< Un

On montre que P(n+1) est vraie, c'est à dire que
Un+2< Un+1

Je bloque à partir de là

Merci d'avance

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 15:17

Bonjour

Prenez la racine carrée

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 15:22

Un+2< Un+1
Un+2 < Un+1
Un+1 < Un

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 15:36

  Pourquoi partez-vous de ce que vous voulez établir ?

L'hypothèse de récurrence est u_{n+1}<u_n

On sait que x\mapsto \sqrt{x} est croissante sur \R_+

on a donc \sqrt{u_{n+1}}<\sqrt{u_n}

Or \sqrt{u_{n+1}}= \quad \sqrt{u_n}=

par conséquent

Posté par
flightre : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 15:38

salut

Un+1 - Un = Un  -  Un     ensuite utilise
a²-b²=(a-b)(a+b)

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 15:46

La question demande :  par récurrence

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 15:55

hekla @ 11-09-2022 à 15:36

  Pourquoi partez-vous de ce que vous voulez établir ?

L'hypothèse de récurrence est u_{n+1}<u_n

On sait que x\mapsto \sqrt{x} est croissante sur \R_+

on a donc \sqrt{u_{n+1}}<\sqrt{u_n}

Or \sqrt{u_{n+1}}= \quad \sqrt{u_n}=

par conséquent
      
Un+1= -Un+ 1 ou Un+1
U[sub]n =- Un ou Un

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 16:07

Non

Soit (U_n) la suite définie par U_0 = 9 et pour tout

n\in \N, \ U_{n+1}= \sqrt{U_n}

cela signifie  u_2=\sqrt{u_1}\ ;\  \ u_{25}=\sqrt{u_{24}

donc \sqrt{u_{n+1}}= \quad$et $ \sqrt{u_n}=

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 16:53

Un+1= Un
Un= 9

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 16:56

Non je me suis trompé,
Un+1 = Un+2
Un= Un+1

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:14

1. Initialisation
Pour tout n = 0, U0= 9 et U1=3
La propriété est vraie pour P(0)

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n) soit vraie,
u_{n+1}<u_n

On montre que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que u_{n+2}<u_{n+1}

On sait que x\mapsto \sqrt{x} est croissante sur \R_+

on a donc \sqrt{u_{n+1}}<\sqrt{u_n}

or \sqrt{u_{n+1}}=u_{n+2}\  $et $ \sqrt{u_{n+1}}= u_{n+1}

Par conséquent  

terminez et concluez

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:29

Un+2< Un+1
Donc la propriété P(n+1) est vraie

Conclusion :
P(n) est vraie pour n = 0 et héréditaire pour tout n
On a montré que le suite Un est strictement décroissante sur

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:35

Bien sûr

Remarque :

La suite \left(U_n\right)

Attention à l'écriture ! u_n terme général (u_n)  suite

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:37

D'accord merci.
Comment faut-il procéder pour la seconde question ?

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:41

D'un côté, une racine carrée est un nombre positif. De l'autre, quel est le
plus grand élément de la suite sachant ce que vous venez de démontrer ?

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:43

Le plus grand élément de la suite est Un

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:47

*Le plus grand élément de la suite est U0 = 9

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 17:56

Vous avez donc l'encadrement demandé

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 18:01

je suis bloqué, je ne trouve pas la racine

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 18:11

Quelle racine  ?

pour tout a\geqslant 0,\  \sqrt{a} \geqslant 0

Par conséquent u_n\geqslant 0

Vous venez de montrer que (u_n) est décroissante donc le plus grand élément est u_0 soit 9.


Par conséquent u_n\leqslant 9

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 18:12

D'accord
donc l'encadrement est Un9

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 18:29

Non, ce que vous proposez n'est pas un encadrement

l'encadrement est  0\leqslant u_n\leqslant 9, objet de la question 2

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 18:42

Je ne sais pas du tout

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 18:56

????????

Tout a déjà été dit.Je reprends donc :

pour tout a\geqslant 0,\  \sqrt{a} \geqslant 0

Par conséquent u_n\geqslant 0

D'après la question 1 Pour tout n \in \N la suite (u_n) est décroissante.

Par conséquent, le plus grand élément est le premier terme, soit u_0 c'est-à-dire 9.

On a donc pour tout n \in\N, \ u_n\leqslant 9

En regroupant les inégalités, on a donc

pour tout n\in \N \ 0\leqslant u_n\leqslant9

Que voulez-vous de plus ?

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 19:05

Je vous remercie pour votre aide ainsi que votre grande patience.
Je vous souhaite une belle soirée.
lou1100

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 19:09

Que n'aviez-vous pas compris ?

De rien

bonne soirée

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 19:13

Je pensais qu'il fallait refaire une démonstration par récurrence pour prouver cet encadrement.
Je ne pensais pas que nous devions utiliser la première question pour nous aider.

Posté par
heklare : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 19:25

La première question était là pour vous guider.
Les questions ne sont pas là pour la décoration.
On vous a bien dit qu'il valait mieux répondre aux questions dans l'ordre
puisque ce sont des étapes pour résoudre le problème.

Un peu plus tard, on pourra vous demander directement
Montrer que pour tout n\   0\leqslant u_n \leqslant 9

Auriez-vous pensé à montrer que la suite était décroissante ?

Posté par
lou1100re : démontrer par récurrence 2 11-09-22 à 19:31

Non sans la première question je ne pense pas que cela me serait venu à l'esprit.
Mais c'est vrai que bien souvent les questions ne sont pas posées uniquement pour le plaisir des yeux elles sont là pour nous aider à avancer dans notre problème.
Je vous remercie encore.
Belle soirée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : démontrer par récurrence 2 15-09-22 à 09:01

Bonjour,
Une remarque sur le début de l'hérédité :

Citation :
1. Initialisation
Pour tout n = 0, U0= 9 et U1=3
La propriété est vraie pour P(0)
Si on veut évoquer P(n), il faut commencer par le définir.

Citation :
1. Soit P(n) : "un+1 un" où n est un entier naturel.
Initialisation
Pour tout n = 0, U0= 9 et U1=3 et 3 < 9.
La propriété P(n) est vraie pour n = 0

Posté par
carpediemre : démontrer par récurrence 2 15-09-22 à 10:15

la propriété P(0) est vraie


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