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Démontrer par récurrence

Posté par
Auzielle
14-09-21 à 09:08

Bonjour,
Voici l'exercice qui me pose problème
Pour tt n entier naturel, Un+1=1/4 Un+21/4 et U0=3
Démontrer par récurrence que Un<Un+1<15.
J'ai commencé par dire que U1=6 , U2=27/4 donc U1<U2<15
après je ne sais pas si je dois démontrer d'abord que Un<Un+1 puis que Un+1<15...
Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 09:26

Bonjour Auzielle,
si tu n'es plus en 1ère pense à changer le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 10:25

C'est fait pour le changement! désolée
Pour l'exercice, je sais que  Un+2=5/4 Un+1- 1/4 Un, il faut peut être que je m'en serve.

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 11:38

Je vous mets le sujet , ça sera mieux.
J'ai tout fait sauf  Partie B 2a)
Merci pour votre aide

Démontrer par récurrence

Posté par
bernardo314
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:17

Bonjour,

L'essentiel est décrire correctement ton hypothèse de récurence, le plus prudent et d'y mettre tout en même temps ..de toutes façons ça ira plus vite que de faire en deux fois.

Tu pouvais aussi  commencer par  3 < 6 < 15  la suite commençant au rang 0

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:31

Oui, ça évitait un calcul  
Et pour la suite? Je pars de Un<15?
Merci

Posté par
bernardo314
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:33

par exemple oui   Un   plus petit que 15  donc  Un+1 est plus petit que...

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:34

Du coup
1/4 Un +21/4<9
Un+1<9
Mais comment tout réunir?

Posté par
bernardo314
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:37

tu as fini la majoration, pour la suite tu veux une inégalité avec  Un+2 donc il faut écrire  Un+2 en fonction de  Un+1 et se servir de ce qu'on sait

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:39

Il faut se servir de Un+2 absolument?

Posté par
bernardo314
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:39

réutiliser l'expression initiale est plus facile  

Posté par
bernardo314
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:40

tu veux  prouver  Un+1 <  Un+2 donc oui il faut U n+2 ...  je dois partir je pense qu'avec l'expression du début c'est facile

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:42

Si un savait que Un>0 on pourrait utiliser Un+1 en fonction de Un mais a t'on le droit?

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:46

Si je pars de Un<Un+1
j'arrive à
Un+1<1/4 Un+1 + 21/4
Je ne vois pas comment exprimer Un+2

Posté par
Auzielle
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 13:50

ha si! merci!
Ca me parait quand même compliqué

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer par récurrence 18-09-21 à 09:06

Bonjour,
Sans doute un peu tard, mais effectivement il y a plus simple.

L'énoncé précise qu'il faut utiliser le résultat de la question 1)b).
C'est à dire \; un+1 = (1/4)un + 21/4 .

un+2 = (1/4)un+1 + 21/4

Pour l'hérédité de la récurrence, en partant de
un < un+1 < 15
il suffit de multiplier par \; 1/4 \; puis d'ajouter 21/4.

Une remarque :
Ce \;15 \; est vraiment arbitraire. N'importe quel réel \; M \; avec \; M 7 \; conviendrait.



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