Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Démontrer par récurrence

Posté par
eyuh
14-09-21 à 18:22

Bonjour, je n'arrive pas à faire mon exercice de maths :
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a  
4^n ≥ 1+3n

J'ai essayé l'initialisation avec v0 ≥ 0 mais en remplaçant n par 0 j'obtiens 1 ≥ 1. Je me demande si je ne dois pas étudier la fonction pour prouver l'hérédité.

Merci d'avance !

Posté par
larrech
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 18:28

Bonjour,

11 est bien vrai.

Donc fait ta récurrence:  suppose  4n1+3n vrai et continue

Posté par
eyuh
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 18:37

Mais comment peut-elle être vraie si je ne sais pas la valeur de Vo ? J'avais comme idée Vo = 0 puisqu'on commence avec un entier naturel mais comme là Vo vaut apparemment 1 je suis un peu perdue.

Posté par
larrech
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 18:44

Le "V0" correspond à n=0.

Or pour n=0 on vérifie que 40=11

C'est l'initialisation.

On passe ensuite à l'hypothèse de récurrence, en supposant qu'il existe n tel que 4n1+3n et on regarde alors ce que cela implique pour 4n+1

Posté par
eyuh
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 19:18

Je bloque pour l'hérédité, j'ai 4^n+1 ≥ 3n +2
Et j'essaie de faire 4^n ≥ 3n = 4^n + 2 ≥ 3n +2 = 4^n+1 ≥ 3n +2*2
Mais du coup j'ai un *2 en trop et je ne sais pas comment le retirer

Posté par
eyuh
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 19:27

eyuh @ 14-09-2021 à 19:18

Je bloque pour l'hérédité, j'ai 4^n+1 ≥ 3n +2
Et j'essaie de faire 4^n ≥ 3n = 4^n + 2 ≥ 3n +2 = 4^n+1 ≥ 3n +2*2
Mais du coup j'ai un *2 en trop et je ne sais pas comment le retirer

Je crois que j'ai trouvé : j'ai 4n+1 ≥ 1+ 3n+1
Donc 4n≥ 3n = 4n *3 ≥ 3n *3
= 4n* (3+1) ≥ 3n+1 +1 =
4n+1 ≥ 3n+1 +1

Posté par
larrech
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 19:27

On suppose que 4n1+3n

Comme on veut faire apparaître 4n+1, on se dit qu'on pourrait commencer par multiplier chacun des termes de l'inégalité ci-dessus par 4. Cela ne changerait pas son sens.

Posté par
eyuh
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 19:41

larrech
4n *4 ≥ 3n * 4
=4n+1 -1 ≥ 3n * (4-1)
= 4n+1 -1 ≥ 3n+1
= 4n+1  ≥ 3n+1 +1

Du coup ma réponse précédente ne fonctionnait pas ?

Posté par
larrech
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 19:53

A 19h27. Il y a des signes = qui n'ont pas lieu d'être.

Si je comprends bien tu additionnes membre à membre 2 inégalités.

Mais je ne vois pas comment 3n+3n*3 pourrait être égal à 1+3(n+1)

Supérieur peut-être

Posté par
larrech
re : Démontrer par récurrence 14-09-21 à 21:27

19h41 n'est pas satisfaisant non plus. Entre les lignes 2 et 3 il faudrait établir que 9n3(n+1) , ce qui est vrai dès que n1, mais il y a plus simple.

4n 3n+1 d'où en multipliant par 4

4n+1 12n+4 3n+4 = 3(n+1)+1



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1502 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !