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démontrer par récurrence
Bonjour, j'ai effectuer une récurrence mais je ne sais pas si elle est juste
L'énoncé est :
Soit (Un) la suite définie par U0= 5 et pour tout n 
, Un+1= 3Un + 6
Montrer que pour tout n , Un > 0
Ma démonstration :
- Initialisation :
Pour n = 0, U0= 5 et U1 = 3 x U0 + 6 = 3 x 5 + 6 = 21
Un> 0 donc la propriété P(0) est vraie
- Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n) soit vraie, c'est à dire tel que :
Un+1> Un => Hypothèse de récurrence
On va montrer que la propriété P(n+1) est vraie, c'est à dire que Un+2>Un+1
On a Un+1> Un
<=> 3Un+1>3Un
<=> 3Un+1 + 6 >3Un + 6
<=> Un+1>Un
Donc la propriété P(n+1) est vraie
- Conclusion
P(n) est vraie pour n = 0 et héréditaire et vraie pour tout n
Merci d'avance
lou1100
Initialisation :
Pour n = 0, U0= 5 et U1 = 3 x U0 + 6 = 3 x 5 + 6 = 21
Un> 0 donc la propriété P(0) est vraie
- Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n) soit vraie, c'est à dire tel que :
Un> 0 => Hypothèse de récurrence
On va montrer que la propriété P(n+1) est vraie, c'est à dire que Un+1> 0
On a Un+1> 0
<=> 3Un+1> 0
<=> 3Un+1 + 6 > 0
<=> Un+1>0
Donc la propriété P(n+1) est vraie
- Conclusion
P(n) est vraie pour n = 0 et héréditaire et vraie pour tout n
Comme ça ?
En plus simple
donc positif la propriété est vraie pour
on suppose que est positif (strictement) montrons que
c'est vrai comme produit et somme de réels strictement positifs
Par conséquent . Il en résulte que pour tout
.
Vous ne pouvez partir de ou alors la conclusion sera
Il est quand même intéressant de montrer que
voir première et dernière lignes
Comme vous l'avez fait, mais la conclusion était fausse
vous avez écrit on suppose
ensuite multiplication par un réel strictement positif
puis on ajoute un nombre strictement positif
C'est alors que la conclusion est fausse puisque
On a bien montré que si la proposition est vraie à un certain ordre, alors elle est vraie pour son successeur.
On n'est pas obligé de prendre ,
aurait fait aussi bien l'affaire, ou
.
Non, ce n'est pas la conclusion.
Si vous partez de ,
est une étape seulement
Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n+1) soit vraie, c'est-à-dire tel que :
Un+1> 0 => Hypothèse de récurrence
On va montrer que la propriété P(n+2) est vraie, c'est-à-dire que Un+2> 0
On a Un+1> 0
<=> 3Un+1> 0
<=> 3Un+1 + 6 > 0
<=> Un+1>0
Donc la propriété P(n+2) est vraie
- Conclusion P(n) est vraie pour n = 0 et héréditaire et vraie pour tout n
On aurait pu écrire la même chose en prenant
Hérédité :
On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que la propriété P(k) soit vraie, c'est-à-dire tel que :
Uk> 0 => Hypothèse de récurrence
On va montrer que la propriété P(k+1) est vraie, c'est-à-dire que Uk+1> 0
On a Uk> 0
<=>
<=>
<=>
Donc la propriété P(k+1) est vraie
- Conclusion
P(n) est vraie pour n = 0 et héréditaire et vraie pour tout n
Et si j'ai bien compris on aurait pu dire
On suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n) soit vraie, c'est à dire tel que :
Un> 0 => Hypothèse de récurrence
On va montrer que la propriété P(n) est vraie, c'est à dire que Un> 0
On a Un> 0
<=> 3Un> 0
<=> 3Un + 6 > 0
<=> Un> 0
La propriété P(n) est vraie
Conclusion
Un > 0 pour tout n
Non
si vous partez de , il faut alors montrer que c'est vrai pour
on suppose vraie et on montre que
est vraie
n'est pas
mais
On part de vraie, on applique la construction de
on constate alors que la proposition est vraie.
Lorsque vous écrivez ce n'est pas
que vous avez écrite, mais
J'initialise en disant que U0 = 5 et que la propriété est vraie pour n = 0
Ensuite pour l'hérédité on suppose qu'il existe un entier naturel n tel que la propriété P(n) soit vraie, c'est à dire tel que :
Un> 0
On va montrer que P ( n + 1 ) est vrai donc que Un+1> 0
On a Un> 0
<=> 3Un> 0
<=> 3Un+ 6> 0
par définition Un+1> 0
La propriété est vraie pour
On conclut en disant que P(n) est vraie pour n = 0 et héréditaire et vraie pour tout n
Cette fois c'est très clair pour moi !
Bonjour,
Je corrige deux coquilles :
Non
si vous partez de
on suppose
On part de
Lorsque vous écrivez
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