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Démontrer qu'une Équation n'a pas de solution

Posté par
Lurickou
19-03-15 à 13:00

Bonjour je bloque totalement sur les congruences.

Soient x et y deux entiers relatifs.
Démontrer que l'équation 7x²-4y²=1 n'a pas de solution.
Merci beaucoup de votre aide.

Posté par
watik
re : Démontrer qu'une Équation n'a pas de solution 19-03-15 à 13:06

bonjour

en prenant les congruences modulo 4 de chaque membre tu obtiens:
3x²=1 (4)
en multipliant par 3 chaque membre tu obtiens:
x²=3 (4)

tableau des congruence modulo 4:

x:  0 1 2 3
x²: 0 1 0 1

donc les congruences modulo 4 de x² sont toujours égales à 0 ou à 1
donc l'équation x²=3 (4) n'a pas de solution
donc l'équation 7x²-4y²=1 n'a pas de solution
donc l'hyperbole d'équation 7x²-4y²=1 ne passe par aucun point dont les coordonnées sont des entiers naturels.

Posté par
Lurickou
re : Démontrer qu'une Équation n'a pas de solution 19-03-15 à 19:26

je comprends pas ton raisonnement desole
pourrais tu me la refaire en expliquant mieux? stp
merci

Posté par
watik
re : Démontrer qu'une Équation n'a pas de solution 20-03-15 à 11:30

mon raisonnement est un raisonnement par l'absurde.

je suppose qu'il y a une solution (x;y) de Z² telle que 7x²-4y²=1 et je démontre que ce n'est pas possible.
donc mon hypothèse que "des solutions existent" est fausse
donc l'équation n'a pas de solution.

pour le reste je maintiens ce que je t'ai écrit sauf la dernière ligne où il faut lire "des entiers relatifs" au lieu de "des entiers naturels".

et dis moi ce que tu ne comprends pas.



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