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Démontrer qu'une fonction n'est pas dérivable en un point
Bonjour à tous, en revoyant un peu la notion de dérivabilité, je me suis heurté à un problème de rédaction.
Prenons par exemple la fonction f(x)=sqrt(x*(4-x)) définie sur [0;4] et dérivable sur ]0;4[.
Pour montrer que f n'est pas dérivable en 0 par exemple j'aurais tendance à rédiger comme cela :
(f(0+h)-f(0))/h = sqrt(h*(4-h))/sqrt(h)*sqrt(h) = sqrt(4-h)/sqrt(h)
Avec ici h
]0;4[ ; donc seule la limite en 0+ du taux d'accroissement existe, or une limite en 0 implique l'existence d'une limite en 0+ mais aussi en 0-.
On en déduit donc que la limite quand h tend vers 0 de (f(0+h)-f(0))/h n'existe pas, donc f ne peut être dérivable en 0.
Cependant d'après la plupart des corrections que je vois, beaucoup auraient calculé la limite en 0+ et trouvé +
et ensuite conclu.
Quelle rédaction est préférable ? Car autant ici on peut trouver une limite de +, mais cependant, prenez la fonction g(x)=x*sqrt(x*(4-x)) par exemple, cette fonction n'est pas dérivable en 0 mais pourtant on trouve bien une limite finie en 0+. A moins que je ne me sois trompé.
Merci pour votre aide.
Bonjour !
Ton inquiétude est bon signe de compréhension !
Dans ce que tu écris concernant la dérivée de en
sur un intervalle
on doit voir la recherche de
.
C'est le qui est souvent oublié à tort : la recherche d'une limite pour
est donc hors sujet.
Dans ton exemple, non dérivable parce que pas de limite finie : c'est tout ce qu'il faut dire.
.........................................
Ton exemple concernant n'est pas très utile car
est dérivable en 0, avec une dérivée nulle (facile).
En revanche avec tu as une fonction définie sur
non dérivable en 0 et cette fois le coefficient directeur n'a pas de limite.
................................
En fait, pour faire le tour de la question il faudrait prendre une fonction non définie pour les réels négatifs, où une limite finie du rapport existe en
.
par exemple .
Tu aurais alors une limite finie nulle en donc dérivabilité en 0 sur l'intervalle
.
.................
Autre exemple : définie sur
.
La fonction n'est pas dérivable en 0 (pas de limite pour le rapport ).
MAIS
La restriction de à
est dérivable à droite en 0 avec une dérivée valant 1.
La restriction de à
est dérivable à gauche, la dérivée étant
.
ce qui montre l'importance de toujours préciser les intervalles où tu envisages d'étudier la fonction.
Bonsoir,
Tout d'abord merci beaucoup pour votre réponse précise et qui cerne parfaitement ma question !
Cependant il y a encore quelques zones d'ombre dans ma tête concernant votre réponse mais aussi concernant les limites de manière générale, je crois que mes difficultés proviennent d'un manque de formalisme de ma part concernant les limites. Je m'explique :
Tout d'abord, quand vous dite que g admet une dérivée nulle en zéro, en effet lorsque qu'on fait le calcul en simplifiant (g(h)-g(0))/h et qu'on fait tendre le h du taux d'accroissement vers 0+ on trouve 0(+?), cependant g'(x) est indéfinie en 0. Donc on répond que g est seulement dérivable en 0+ ? Ou alors j'ai mal calculé ma dérivé.
Ensuite de manière plus générale, quand dit par exemple limite en 0, qu'est-ce que ça implique exactement ? Je veux dire, est-ce que pour pouvoir affirmer que la limite d'une expression P(x) quand x tend vers 0 est égale à un réel a, il faut nécessairement que la limite de P en 0+ et 0- soit égale à a ? En fait j'ai un peu du mal a faire la différence entre limite en 0 et limite en 0+ ou 0- par exemple.
Aussi, quand doit on mettre 0+ ou simplement 0 ? Par exemple, pour la limite en 0+ de la fonction sinus, doit-mettre que cette limite vaut 0 ou 0+ ?
Bref, je vous demande encore une fois votre aide.
Merci beaucoup et bonne soirée.
C'est toi qui dois préciser car tu dois rester sur un ensemble où la fonction est définie :
1. lorsque la fonction est définie à la fois pour les négatifs et positifs tu dois préciser
1.1 limite pour , des deux côtés (dans ce cas les limites à gauche et à droite sont égales) et tu ne mets ni
ni
.
Ce serait le cas pour ton exemple de fonction "sinus" : il y a une limite en .
1.2 limite seulement à gauche ou à droite : les deux peuvent exister et être différentes ou l'une des deux seulement exister. Et tu mets alors la précision qui convient.
2. lorsque la fonction est définie seulement d'un côté, tu ne regardes que la limite sur l'ensemble de définition (donc d'un seul côté). Dans ce cas c'est toujours ou ou
.
...............................
En revanche la question
doit-mettre que cette limite vaut 0 ou 0+ ?
Personne ne définit une limite égale à
Il ne faut pas confondre le "tend vers" du côté variable et du côté "fonction" : j'interdis à mes débutants d'écrire "
Bonjour,
Désolé de ma réponse tardive.
Si je devais récapituler (corrigez-moi si je me trompe) :
-Dans le cas d'une fonction continue sur intervalle comprenant un réel a : calculer la limite en a- et a+ n'a pas vraiment d'utilité puisque les limites à gauche et à droite sont égale, on note simplement limite en a.
-Dans le cas d'une fonction f dont on ne sait pas si elle est continue en a (on cherche à le montrer et on sait qu'elle est définie pour a), on distingue la limite en a+ et en a-; si ces deux limites sont différentes on s'arrête là : f n'a pas de limite en a et donc n'est pas continue en a; si ces deux limites sont égales à f(a) alors la fonction admet une limite en a et est continue en a.
-Dans le cas d'une fonction f non définie en a, on calcule la limite en a- et a+, si ces deux limites sont égales alors on peut dire que f admet une limite en a, sinon non.
Je me suis un peu aidé de cet article section "limite à gauche et à droite" https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques_%C3%A9l%C3%A9mentaires)#Limite_d'une_fonction_en_un_point_p
Du coup, par le "implique" je voulais surtout dire si l'appellation générale "limite en a" signifie une limite bilatérale, d'après l'article oui puisque pour pouvoir affirmer qu'une fonction à une limite en a il faut que la limite en a à gauche et à droite soit la même.
En revanche la question
doit-mettre que cette limite vaut 0 ou 0+ ?
Personne ne définit une limite égale à
Il ne faut pas confondre le "tend vers" du côté variable et du côté "fonction"
J'admet qu'on ne s'est pas embêté à définir des notions de limites pour conclure qu'une limite est égale à 0-. En fait si j'ai posé cette question, au-delà de mon incompétence, c'est à cause d'un exercice dont je me suis souvenu :
"Déterminer les limites de l(x)= x/[(x+1)(x-2)] en x=-1 et en x=2"
(du coup petite remarque : si ce que je viens de dire est correct sur les limites, alors parler de limite en -1 et 2 dans la consigne n'est pas vraiment juste car on ne sait pas si elles existent)
Comme l n'est pas définie en -1 il faut faire la limite en -1- et -1+.
Sauf que dans le cas de la limite en -1-, pour le dénominateur, il est important de préciser la limite en -1- de (x+1) sera négative, comme ça on pourra conclure que la limite de (x+1)(x-2) sera positive et donc que la limite de l(x) quand x tend vers -1- est -
; sinon comment aurait-on pu déduire le "-" de "-" ? Je ne sais pas si vous me comprenez.
Bref, merci en tous cas pour votre aide.
Oui, dans ton dernier exemple, les limites à gauche et à droite en sont distinctes : il n'y a pas de limite "tout court" mais il y a une limite en
et une limite en
.
A noter que la fonction n'étant pas définie en ce sont des limites dites sur voisinages épointés (on doit enlever
des valeurs de
à manipuler).
Le problème n'est pas que la limite de soit négative (il pourrait y avoir un autre facteur qui change de signe aussi). La conclusion de limite égale à
vient de l'étude du signe de la fonction, dans ton cas signe de
qui, effectivement, au voisinage de
est celui de
.
Mais suppose qu'on ait multiplié ta fonction par
: le signe de la limite de
ne suffit pas pour conclure. Je te signale que dans ce cas il n'y a pas de limite en
, ni à gauche, ni à droite.
D'accord merci pour votre aide. Du coup dans le secondaire si j'ai bien compris on considère la définition épointé des limites. C'est à dire que pour une fonction f définie sur 
valant 1 en 1 et 0 sinon, la limite en 1 de f est 1 et non 0 (alors que si on exclue 1 alors cette limite vaut 0). C'est bien ça ?
Je viens de me rendre que c'est plutôt la limite non épointé que l'on considère, excusez-moi mais ce sont des nouvelles notions pour moi et j'ai encore un peu de mal.
C'est toi qui dois préciser car tu dois rester sur un ensemble où la fonction est définie :
2. lorsque la fonction est définie seulement d'un côté, tu ne regardes que la limite sur l'ensemble de définition (donc d'un seul côté). Dans ce cas c'est toujours ou
Alors dans ce cas, si par exemple on considère la fonction f définie sur
+ par f(x)=x², on doit absolument dire limite en 0+ et non juste limite en 0 comme 0 appartient au domaine de définition de f ? Si on vous suit à la lettre oui, mais dans ce cas la définition non épointé n'est plus valable, ou alors une fonction du type f(x)=x² si x+* et 1 si x=0 n'a pas de limite en 1. (Car sa limite en 0+ sera 0 alors que f(0)=1).
Je prend un peu des cas alambiqués mais c'est pour être sûr.
Tu as très bien compris !
Dans la définition "non épointé" la fonction n'a effectivement pas de limite en 0 (ton 1 doit être un lapsus !) ce qui a déclenché de vives critiques sur la définition imposée dans le secondaire.
Je pense que "limite" (sans rien d'autre) aurait dû entraîner automatiquement le cas épointé : ce n'est pas ce qui est prévu dans les règlements (entre autres aux examens et concours) et cela va créer des remises en cause quand on fera des math plus approfondies.
Dans ton exemple, pas de limite en 0 pour MAIS une limite en 0, à droite, pour la restriction de
à
.
Il faudra prendre l'habitude de toujours préciser l'ensemble envisagé !
Plus généralement, si est une partie de
où 0 est adhérent (j'espère que tu connais cette notion) on parlera sans ambiguïté de
et là il n'y aura plus de problème.
D'accord, je saisis beaucoup mieux.
Pour récapituler (merci de confirmer), pour la définition de la limite épointé suivant :
"Soit une application f : E
avec U sous-ensemble de et a un réel adhérant à E.
On dit que f a pour limite l en a si on a :
Pour tout 
>0, il existe 
>0 tel que pour tout x de E, |x-a|< implique |f(x)-l|<"
Une fonction du type f : xx² définie sur +* admet une limite en 0 d'après la définition suivante (et d'ailleurs d'après l'autre définition aussi) mais dans la pratique on préféra noter "limite de f quand x tend vers 0+"
Définition "suivante" ou "précédente" ?
Du moment que tu précises que l'ensemble de définition est il n'y a aucun besoin de préciser
.
Je voulais dire "précédente", et d'accord merci. J'ai enfin tout compris, et d'ailleurs je me rend compte que dans son cours mon prof change de définition d'une partie du cours à l'autre (exemple: la définition de la continuité suggère la définition épointé alors que cette définition rend le théorème des limites de fonctions composées faux) , c'est assez troublant quand on est pas au courant de l'existence de ces 2 définitions ...
En fait pour la continuité limite épointée ou pas donne le même résultat.
Mais dès qu'on passe aux dérivées où la limite épointée devient obligatoire, la "composition des limites" n'est plus utilisable.
........................
Un cours bien fait devrait donner la possibilité de composer les limites pour lorsqu'on a une des conditions suivantes :
1. est continue en la limite (forcément finie) de
.
2. est strictement monotone (règle les problèmes pour la continuité des fonctions réciproques, sinon ce n'est pas aussi simple que certains se plaisent à dire...)
3. a une limite infinie.
Dans tous les autres cas une démonstration (si elle existe) adaptée est obligatoire.
Tu devrais essayer de démontrer la propriété dans ces cas particuliers et voir qu'à part la dérivation d'une fonction composée, où ils ne sont pas vérifiés, l'utilité est "presque" universelle.
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