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Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissante

Posté par
athrun 15-04-10 à 20:44

Bonsoir,

je veux démontrer que la suite 2$(u_n) définie par :

4$u_n=\frac{1}{n}\Bigsum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k}{n}), 4$n\in\mathbb{N^*}

est croissante.

(2$f(x)=xe^x, mais je pense pas que ça serve).

J'ai essayé de calculer le signe de 2$u_{n+1}-u_n mais bon je ne sais pas si c'est ce qu'il faut vraiment faire.



Alors si vous pouviez me donner un indice s'il-vous-plaît ?  

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:01

Bonsoir,

Il vaudrait mieux faire : Un+1/Un qui se simplifie très bien.

Posté par
athrunre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:13

Bonsoir Leonegres merci de votre réponse :

2$\forall n\in\mathbb{N^*} :

4$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n}{n+1}\times\frac{f(0)+f(\frac{1}{n+1})+...+f(\frac{n-1}{n+1})+f(\frac{n}{n+1})}{f(0)+f(\frac{1}{n})+...+f(\frac{n-2}{n})+f(\frac{n-1}{n})}


On peut simplifier ça ?

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:18

Oui, il faut que tu refasses ton calcul avec les exponentielles.

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:21

Attention néanmoins de ne pas confondre tes n et tes  k...

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:37

Stop Athrun, je t'ai peut-être induit en erreur.
Il faut que je revois le truc de mon côté.

Posté par
athrunre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:37

Ok, j'ai ça :


5$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{e^{\frac{1}{n+1}}}{(n+1)^2}+\frac{2e^{\frac{2}{n+1}}}{(n+1)^2}+...+\frac{ne^{\frac{n}{n+1}}}{(n+1)^2}}{\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^2}+\frac{2e^{\frac{2}{n}}}{n^2}+...+\frac{(n-1)e^{\frac{n-1}{n}}}{n^2}}=\frac{\frac{e^{\frac{1}{n+1}}}{(n+1)^2}}{\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^2}}\[\frac{1+2e^2+3e^3+...+ne^n}{1+2e^2+3e^3+...+(n-1)e^{n-1}}\]

Posté par
athrunre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:39

il n'y a aucun problème Leonegres

la prof a dit qu'on ne pouvait pas le démontrer à notre niveau (terminale S) et donc qu'il fallait l'admettre, c'est juste que je suis curieux

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 21:56

Mouais mouais.
Mais c'est plutôt une bonne chose que tu sois comme ça, et toutes mes félicitations pour ta Term S.
Je suis en train de regarder un truc de mon côté, mais je ne suis pas sûr d'y arriver.
Si je n'y arrive pas, on fera appel à Olive_68.

Posté par
athrunre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 15-04-10 à 22:00

ok ^^, merci ^^

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 18:31

Bon,

Olive est dans le secteur, j'essaye de le contacter, ça m'étonnerait qu'il ne nous sorte pas de cette pétaudière !!!

Posté par
athrunre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 18:57

Ok, mais ne vous embêtez pas non plus rien ne presse de toute façon ^^

Posté par
olive_68re : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 19:16

Salut

J'aime pas se genre de suite, elle à tout pour déplaire (les n sont au déniminateur .. et c'est une somme ^^)

Je dois partir là mais quelques pistes que j'aurais commencé à explorer pour répondre à la question c'est :

De regarder par considération d'aire, comme je te l'ai expliqué dans l'autre topic, tu as une somme d'aire de rectangle.

Ensuite dans la somme que tu as écris entre crochet à 21h37 tu as un truc du type 3$\Bigsum_{k=1}^n \ ke^k, si tu l'intègres tu obtiens une somme de termes en progression géométrique, tu la dérives à nouveau pour avoir la somme de manière compacte, ça peut peut-être permettre de conclure..

Je ne sais pas si ça permet de conclure mais je vais regarder ça de plus près tout à l'heure

(En tout cas je ne pense par que faire le calcul 3$u_{n+1}-u_n soit la méthode la plus approprié pour faire ça, je pense que aucune terme ne va se simplifier mais qui sait ..)

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 19:35

M'ouais.
Je crois que ce ne sera pas du niveau de Terminale effectivement ...

Posté par
cunctatorre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 19:58

Bonsoir à tous
J'ai essayé plusieurs méthodes mais je me suis cassé la tête
Peut être en dérivant car la fonction est toujours popsitive.

Posté par
Leonegresre : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 20:08

Ben j'crois qu'c'est pas gagné ...

Posté par
olive_68re : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 20:15

Re,

En fait géométriquement c'est évident, voir ce quee j'avais écris.

La somme converge vers 3$\Bigint_0^1 \, xe^x \, \text{d}x, l'imprecision sous la courbe est plus petite vu qu'on a encore rapetissé la largeur du rectangle.

Pour la démonstration analytique je vais regarder ça de plus près, en tout cas ça me paraît moche le travail à faire.. ^^

Posté par
olive_68re : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 20:27

En fait je crois avoir trouvé quelque chose, on peut montrer que 3$u_{n+1}-u_n\le \fr{-u_n+e}{n+1} \\ \\ Reste à montrer que [tex]3$u_n est plus petit que 3$e : Comme 3$(u_n) est une suite d'aire de rectangle sous la courbe représentative de 3$f et que 3$\Bigint_0^1 \ f(x) \ \text{d}x \, = \, \[xe^x\]_0^1 \, - \, [e^x\]_0^1=e-0+-e +1=1.

Voilà j'espère ne pas m'être trompé, la seule chose à vérifier encore c'est de savoir si les rectangles sont effectivement sous la courbe

Posté par
olive_68re : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 20:29

Euh nan ce que j'ai dis est faux (j'ai pas de brouillon ..)

Je reviens

Posté par
olive_68re : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 16-04-10 à 21:12

Bon chaques majoration que je prends est trop grosse..

Si j'avais à le démontrer je prendrais la méthode graphique ( 20h15 ) c'est plus simple et moins chiant surtout.

Mais je continue de chercher une méthode par le calcul, en attendant, je sors.

Bonne soirée A+

Posté par
infophilere : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 17-04-10 à 10:52

Bonjour

Si f est quelconque ça ne marche pas, par exemple pour x -> 1-x sur [0,1] la suite (u_n) est décroissante.

Par contre si on impose f croissante là ok, je laisse olive le rédiger, l'interprétation géométrique étant bonne

Posté par
infophilere : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 17-04-10 à 11:30

Bon allez je le fais, après je n'aurai plus le temps de repasser par là :

Je note v_k=f(\frac{k}{n}), donc u_n=\frac{v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}}{n} est la moyenne de Césaro associée à la suite (v_n) croissante (car f croissante).

u_{n+1}-u_n=\frac{v_0+\cdots+v_n}{n+1}-\frac{v_0+\cdots v_{n-1}}{n}=\frac{n(v_0+\cdots+v_n)-(n+1)(v_0+\cdots+v_{n-1})}{n(n+1)}=\frac{nv_n-(v_0+\cdots+v_{n-1})}{n(n+1)}=\frac{(v_n-v_0)+(v_n-v_1)+\cdots.(v_n-v_{n-1})}{n(n+1)}\ge 0

car (v_n) croissante.

Donc c'était accessible dès la Terminale, sauf erreur bien sûr

Posté par
infophilere : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 17-04-10 à 11:39

Ah non je me suis planté, j'aurais du me coucher tôt hier

Je vous laisse voir où est l'entourloupe

Je repasse plus tard !

Posté par
infophilere : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 17-04-10 à 18:20

Hum en fait non c'est faux même pour f croissante, par exemple la fonction qui vaut 0 sur [0,1/2] et 1 sur [1/2,1] (avec un raccord continue en 1/2, on sait construire une telle fonction). Alors pour on a u_2 = \frac{1}{2} et u_3 = \frac{1}{3}.

En fait olive devait se représenter une fonction convexe en tête (ce qui fut mon cas) et telle que f(0)=0, là ça marche en effet :

Quitte à faire un changement de variable affine on se place sur le segment [0,1]

Pour 1\leq k< n on a \frac{k}{n+1}< \frac{k}{n}< \frac{k+1}{n+1}, et on va écrire astucieusement (pour exploiter la convexité) :

\frac{k}{n}=\left(1-\frac kn\right)\frac{k}{n+1}+\frac{k}{n}\frac{k+1}{n+1}

D'où \Bigsum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac kn\right) \leq \Bigsum_{k=1}^{n-1} \left(\left(1-\frac kn\right)f\left(\frac{k}{n+1}\right)+\frac{k}{n+1}f\left(\frac{k+1}{n+1}\right)\right)

Et comme \frac{1}{n}\left(1-\frac 1n\right)\leq \frac{1}{n+1} il vient : 3$ \fbox{\frac 1n\Bigsum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac kn\right) \leq\frac{1}{n+1}\Bigsum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n+1}\right)}

Pour en revenir à l'exemple de athrun f(x)=xe^x, son prof a dit juste car elle est convexe sur \mathbb{R}^{+} et passe par l'origine.

Posté par
infophilere : Démontrer qu'une suite (définie par une somme) est croissan 17-04-10 à 18:23

Oups j'ai oublié de préciser : \Bigsum_{k=1}^{n-1} \left(\left(1-\frac kn\right)f\left(\frac{k}{n+1}\right)+\frac{k}{n+1}f\left(\frac{k+1}{n+1}\right)\right)=\Bigsum_{k=1}^{n}\left(1-\frac 1n\right)f\left(\frac{k}{n+1}\right).


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