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démontrer qu'une suite est géométrique

Posté par
anjela
12-11-20 à 10:53

Bonjour, j'ai cet exercice à réaliser:

Maxime à 40 € dans son porte-monnaie le 1 er janvier 2019 au matin. Tous les jours, il dépense le quart de ce qu'il a dans son porte-monnaie et retire 25€ le soir dans un distributeur pour mettre dans son porte-monnaie. On note" Un " la somme qu'il aura dans son porte monnaie n jours après le 1er janvier, au matin. On a U0=4.
1.Combien aura t-il dans son porte monnaie le 2 janvier au matin?
2.Donner la valeur de U0, U1, U2.
3.La suite (Un) est-elle arithmétique? géométriques?
4.Justifier que pour tout n appartient à N, Un+1=0,75Un+25.
5.Soit (Vn)  la suite définie pour tout n appartient à N par Vn+1=Un-100
a)démontrer que Vn est une suite géométrique de raison 0,75.
b)Déterminer la valeur de V0.
c)En déduire l'expression de Vn en fonction de n
d)En déduire l'expression de Un en fonction de n
e)Combien aura-t-il dans son porte-monnaie le 15janvier au matin?

Je suis bloqué à la partie "a" de la question 5, es ce que vous pourriez me donner quelques indices par rapport à cette dernière?
Pour informations voici mes résultats aux questions précédentes:
1)55
2)U0=40 / U1=55 / U2=66,25
3)La suite Un n'est ni géométrique, ni arithmétique.

Posté par
hekla
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 11:00

Bonjour

Qu'est-ce qu'une suite géométrique  ?

Écrivez v_{n+1} en fonction de u_{n+1} puis en fonction de u_n et retour à v_n

Posté par
anjela
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 11:18

Merci de votre réponse

Alors tout d'abords j'écris Vn+1 en fonction de Un+1:
Vn+1=Un-100
donc V(n+2)=U(n+1)-100

(je ne sais pas mettre en indice les nombres avec l'ordinateur, ce qui est en parenthèse ci-dessus est donc en indice)

Je peux ensuite écrire V(n+2)=0.75Un+25-100
donc V(n+2)= 0.75Un-75

Arrivé ici je suis bloqué, comment passé de ça à Vn+1 en fonction de Un

Posté par
hekla
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 11:30

Il doit y avoir une erreur dans le texte  c'est v_n=u_n-100  et non v_{n+1}

v_{n+1}=u_{n+1}-100

Pour les indices  vous avez X_2  en dessous de la feuille de réponse

Posté par
hekla
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 11:35

de v_{n+2}=0,75u_n-75 vous pouvez mettre 0,75 en facteur

Une raison supplémentaire pour écrire qu'il y a une erreur : il est  demandé de calculer v_0 donc il faudrait avoir u_{-1} Difficile

Posté par
anjela
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 11:41

Ok merci, ça me paraissait aussi compliqué de procéder avec Un-1. Je demanderais à mon professeur. Bonne fin de journée.

Posté par
hekla
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 11:44

De rien
bonne journée

Posté par
lafol Moderateur
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 18:53

Bonjour
la clé de ta question, c'est que 100 = 0.75\times 100 +25

si tu écris que U_{n+1} = 0.75U_n +25, et tu enlèves l'égalité ci-dessus, tu arrives à  U_{n+1}-100 = 0.75(U_n-100)

Une fois que tu auras élucidé qui s'appelle V_n, tu auras ta relation prouvant qu'elle est géométrique

Posté par
anjela
re : démontrer qu'une suite est géométrique 12-11-20 à 20:24

Bonsoir,
Merci pour votre aide!
J'ai enfin compris! En réalisant la démonstration,  j'ai retrouvé V(n+1)=Vn×0,75, donc j'ai ensuite pu conclure et terminer l'exercice...
Bonne fin de soirée!

Posté par
SynerG
re : démontrer qu'une suite est géométrique 02-03-21 à 19:06

Bonjour
J'ai également ce problème a faire pour un DM
J'ai à peu près tout compris en suivant la conversation, mais je n'arrive pas à voir comment la suite U(n) ne serait ni arithmétique, ni géométrique...
Pourriez vous m'expliquer s'il vous plaît?
Merci d'avance et bonne soirée

Posté par
hekla
re : démontrer qu'une suite est géométrique 02-03-21 à 19:32

Bonsoir

vous avez calculé u_0,\  u_1 \  $et $ u_2

Suite arithmétique  la différence entre deux termes consécutifs est  constante  u_2-u_1=u_1-u_0

Si cette égalité n'est pas vérifiée alors la suite n'est pas arithmétique   puisque cela doit être pour tout n et vous exhibez des n pour lesquels c'est faux

même principe pour non géométrique



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