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Demontrer que (1+1/n)^n<e

Posté par
skydard
05-02-17 à 12:03

Pourriez-vous m'expliquer comment démontrer que pour tout entier naturel n non nul, (1+1/n)^n < e  ?

Posté par
bbjhakan
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:05

tu n'as pas une fonction définie?

Posté par
lake
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:08

Bonjour,

On peut montrer au préalable que pour tout x\geq 00, \ln(1+x)\leq x

Posté par
skydard
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:09

Non je n'ai pas de fonction définie, j'ai juste démontrer aux questions précédentes que 1+x< exp(x) et que pour x<1  :  exp(x)< 1/(1-x)

Posté par
carpediem
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:09

salut

étudie la fonction x --> xln(1 + 1/x) - 1 ...

Posté par
skydard
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:11

Pour ln(1+x) < x, nous n'avons pas encore fait la fonction ln et nous ne sommes pas censé connaître son existence

Posté par
lake
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:12

Eh bien que donne ta dernière inégalité avec x=\dfrac{1}{n} (pour n>1)?

Posté par
bbjhakan
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:12

pose x=1/n et utilise

skydard @ 05-02-2017 à 12:09

précédentes que 1+x< exp(x)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:19

skydard @ 05-02-2017 à 12:09

Non je n'ai pas de fonction définie, j'ai juste démontrer aux questions précédentes que 1+x< exp(x) et que pour x<1  :  exp(x)< 1/(1-x)


Et si dans ce qui a en rouge ci-dessus (et que tu as démontré), tu posais x = 1/n ?

(1 + 1/n) < e^(1/n)
En élevant les 2 membres à la puissance n ...

Sauf distraction.  

Posté par
skydard
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:20

Merci,de vos réponses, c 'est bon j'ai réussi, maintenant je vais essayer les questions suivantes

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 12:22

Tiens, c'est marrant, le message de  bbjhakan n'était pas là quand j'ai posté le mien ... et voila que mon message apparaît sans date et heure.

Posté par
malou Webmaster
re : Demontrer que (1+1/n)^n 05-02-17 à 12:28

et ton second message, n'a toujours ni date ni heure...tu casses tout J-P ?

Posté par
carpediem
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 13:03

et quand j'ai posté mon msg il n'y avait qu'une réponse puis la mienne ... quand j'ai regardé la page !!

maintenant il y a eu de l'incrust avec deux autres msg avant le mien

Posté par
malou Webmaster
re : Demontrer que (1+1/n)^n 05-02-17 à 13:15

oui, mais ça pas étonnant vu les horaires, tout est arrivé quasi en même temps

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 18:15

Y a pas non plus de dates et heures aux messages de malou.

Posté par
malou Webmaster
re : Demontrer que (1+1/n)^n 05-02-17 à 18:20

ah ben oui, je n'avais pas vu...mais sur les autres sujets où j'ai participé aujourd'hui, ça ne le fait pas ....une bizarrerie de notre site....

Posté par
carpediem
re : Demontrer que (1+1/n)^n<e 05-02-17 à 18:27

le temps s'arrète ... la fin du monde est proche ...



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