Aidez moi SVP

Combien peut-on former de grilles? (=90)

90, c'est ta réponse ?

la bonne réponse est

chacune des 24 cases peut être blanche ou noire

_{(on ne s'intéresse pas bien sûr à la pertinence des grilles ainsi confectionnées pour concevoir une grille de mots croisés intéressante)}

mais dans la grille on ne peut trouver que 4 cases noires

autant pour moi, je n'avais pas percuté

donc le premier résultat est 24*23*22*21/4!=10626

comment as-tu trouvé 90 ?

Je ne comprends pas pourquoi vous avez procédé de la manière
(je vais vous fatiguer un peu ,désolée )

moi au moins j'ai essayé, par le détail de mon calcul, de te faire te raccrocher à ce que tu as déjà dû voir sur les techniques de dénombrement, alors je répète :
comment as-tu trouvé 90 ?

alors moi j'ai raisonné de cette façon
la première case noire peut être l'une des 24 cases
la deuxième peut être l'une des 23 cases
la troisième l'une des ds 22 cases
et la quatrième l'une des 21 cases restantes

très bien, mais comment es-tu arrivé à 90 ?

(même si j'ai deviné ce que tu as fait, je veux que tu le verbalises, que tu l'écrives)

je sais que c'est stupide mais bon je vais l'écrire
n=24+23+22+21=90

et voilà pourquoi c'est stupide :

choisissons la première case parmi les 24 : il y a 24 grilles possibles où on noircit exactement une case

pour chacune des 24 premières grilles, on fait l'opération suivante :
on choisit une deuxième case différente de la première, donc on a 23 choix possibles

donc chacune des 24 premières grilles donne lieu à 23 autres nouvelles grilles où deux cases sont noircies.
visualise bien : 24 paquets de 23 grilles à 2 cases noires : ça fait 24*23 grilles au total

quand on prend ces 24*23 grilles, on peut pour chacune d'elles dessiner 22 nouvelles grilles en choisissant de noircir l'une des 22 dernières cases restantes

ça fait 24-23 paquets de 22 nouvelles grilles, donc 24*23*22 grilles à 3 cases noires

et finalement, 24*23*22*21 grilles à 4 cases noires;

MAIS ce décompte tient compte de l'ORDRE dans lequel on a choisi chaque case.

on peut choisir de noircir les cases A, puis B, puis C puis D, mais si on avait choisi de noircir A, puis D, puis B, puis C, on aurait trouvé la même grille :
donc dans le processus qui nous a amené à compter 24*23*22*21 grilles, il y a des grilles identiques.

une même grille peut avoir été générée par la séquence (A,B,C,D) mais aussi par n'importe quelle PERMUTATION de cette séquence, et il y a 4! permutations (là je ne détaille pas, tu demandes si tu souhaites savoir pourquoi c'est 4!) d'une séquence de 4 termes.

d'où la division que je fais, 24*23*22*21/4! pour trouver le nombre de grilles différentes obtenues.
Sans cette division, une grille donnée est présente 4!=24 fois dans les grilles générées.

Merci infiniment
Je vais essayer de faire les questions qui suivent
b) n=23*22*21/3!
c) n=22*21/2
d- n=24
c'est ce que j'ai pu faire

b)
choix du coin : 4
ensuite 23*22*21/3! choix possibles des 3 autres cases

n=4*23*22*21/3!

c)
choix de 2 des 4 coins : 4*3/2! = 6
ensuite 22*21/2! choix possibles des 2 autres cases

n=6*22*21/2

d)
le choix de la case dans une colonne est 6
donc une fois le choix fait pour la première colonne, on a 6 grilles différentes,
pour chacune d'elles, on noircit une case dans la colonne d'à coté : encore une fois, 6 choix possibles, pour chacune des 6 premières grilles : on a maintenant 6*6 grilles.

au final :


et il n'est pas question d'envisager des permutations ici, parce que chaque grille construite par cette méthode est unique, on ne peut pas la retrouver comme on retrouvait des grilles identiques dans le a)


pas brillant, hein ?
ça va venir...

allez, il te reste des questions à résoudre pour te refaire une bonne fortune.

Bonjour
Pour les autres questions je ne sais vraiment quoi faire
J'ai beau essayer je vous assure
Avouez que l'exercice est difficile

charité chrétienne : je vais soutenir que l'exercice est effectivement très difficile.

je vais admettre qu'il l'est pour quelqu'un qui aborde ces notions pour la première fois
c'est un pli à prendre, une tournure d'esprit à adopter

e- Combien de grilles ont une case noire par colonne et au plus une case noire par ligne?
choix de la case noire de la première colonne : 6 possibilités

choix de la case noire de la deuxième colonne : il reste 5 possibilités puisque on ne peut choisir la ligne qui contient la case noire de la première colonne
à partir de là, il y a donc 6*5 grilles constituées

choix de la case noire de la troisième colonne : il reste 4 possibilités

etc.

pas de grilles identiques à redouter, donc pas de permutations à envisager,

donc le résultat est
n=6*5*4*3

2) généralisation aux grilles à n colonnes, p lignes, k cases noires
évidemment,

On va d'abord rappeler des notations générales, de celles que tu devras apprendre impérativement pour que le difficile ait une chance de ne plus te paraître aussi difficile :
un produit de facteurs de la forme 1*2*...*(n-1)*n (ou n*(n-1)*...*2*1
est appelé factorielle n et se note 1*2*...*(n-1)*n=n!
je l'ai déjà utilisé et tu sembles connaître
évidemment, le facteur 1 ne change rien, il est là pour la généralisation de la formule

un produit partiel de tels entiers : quand on commence à p+1
(p+1)*(p+2)...(n-1)*n
s'obtient en divisant deux factorielles


le nombre suivant :

qu'on a déjà rencontré dans le 1a) sous la forme (24*23*22*21)/(1*2*3*4)
s'appelle le nombre de combinaisons de p éléments parmi n et s'écrit :


2a) Combien de grilles peut-on former ?
si k=0 : 1 seule grille possible, celle qui est toute blanche
sinon le même raisonnement s'applique

on avait 4 colonnes, 6 lignes, 4 cases, on a déterminé que le résultat était
24*23*22*21/4!, c'est à dire
(4*6)*(4*6-1)*(4*6-2)*(4*6-3)/4!
produit de 4 facteurs allant de 4*6 à 4*6-3
divisé par les permutations des 4 cases noires

dans le cas général, on aura
(n*p)*(n*p-1)*(n*p-2)...(n*p-(k-1))/k!
produit de k allant de n*p à n*p -(k+1)
divisé par les permutations des k cases noires
on reconnaît la formule du binôme vue ci-dessus, le nombre de combinaisons de k éléments pris parmi n*p éléments :
le résultat s'écrit


2b) Combien de grilles ayant au plus une case noire par colonne ?
là, il y a par rapport à l'exercice 1d) une difficulté supplémentaire
dans l'exercice 1d), il y avait 4 colonne, 4 cases noires, une case noire par colonne
là, il y a n colonnes , k cases noires, et au plus une case noire par colonne
donc certaines colonnes peuvent être vides.
donc quand on distribue les cases noires, il faut choisir les colonnes servies
donc dans le processus de choix (choix de la première, puis de la seconde, etc.) on introduit la possibilité de permutations.
donc il faudra diviser par le nombre de permutations pouvant se faire sur les colonnes choisies
on va choisir les k colonnes qui reçoivent chacune une des k cases noires
il y a donc choix possibles des colonnes à utiliser
pour chacune de ces colonnes, on peut choisir l'une des p cases de la colonne pour la noircir
donc pour chaque grille préparée avec un jeu de k colonnes à noircir, on a possibilités de noircir une case dans chaque colonne
idem que pour le 1d), impossible sur cette grille à k colonnes choisies de générer deux grilles identiques donc pas de permutations.

il suffit maintenant de multiplier ces grilles obtenues avec l'une des grilles préparées pour obtenir le nombre de grilles totales possibles.

le résultat est

et là, pas de risque d'avoir des grilles en double, chaque prototype de grille à k colonnes est différent des autres (on a déjà divisé par les permutations des colonnes)

2c) Combien de grilles ayant au plus une case noire par colonne et au plus une case noire par ligne
pour le dernier exercice, le résultat est

essaie de comprendre pourquoi.

oh là là je m'incline devant vous
Merci vraiment merci
Je vous suis vraiment très reconnaissante
Bonne journée

Salut,
Désolé de relancer le sujet après 4 ans, mais j'ai un exos dont l'énoncé est exactement identique à la question 1 de celui-ci alors je trouvais dommage de recréer un topic...
J'ai donc deux sous-questions en plus à la question 1: parmi ces grilles, combien d'entre elles ont:
a) exactement 2 coins noircis ?
b) au moins un coin noirci ?

Pour la a,  je me suis dit qu'on fixait 2 cases noircies dans les coins, et qu'il ne restait plus qu'à choisir 2 cases à noircir parmi les 20 restantes (on enlève les 4 coins vu que c'est exactement 2 coins) ce que me donne 190 grilles.

Pour la b, dans un raisonnement analogue je me suis dit qu'on fixait un coin noirci et qu'il restait donc plus que 3 cases à noircir parmi les 23 restantes: j'obtiens alors 1771 grilles.

Que pensez-vous de ces résultats ?