bonsoir, en espérant que ça pourra t'aider à y voir plus clair
Dénombrement  :  l'art de savoir compter

I / Les outils pour compter :

Plusieurs outils (en dehors des doigts) servent à dénombrer des « objets » constitués d'éléments.
Qu'est ce qu'un objet ?
Citons, par exemple : un n° de téléphone, une « main » dans un jeu de cartes, une combinaison de tiercé, une grille de loto, une poignée de mains,  etc … et, bien entendu, une personne lambda.

Pour un objet donné, qu'est ce qu'un élément constituant ?
La réponse dépend, bien sur, de l'objet


Objet Eléments constituants
N° de téléphone 10 chiffres (de 0 à 9)
Main d'un jeu de cartes Un certain nombre de cartes
Combinaison de tiercé 3 n° de chevaux
Combinaison de loto 6 n° de 1 à 49
Poignée de mains 2 personnes concernées
Personne lambda Caractéristique de la personne

Cette première base étant posée, il reste à répondre à deux questions pour dénombrer les objets

Q1 : L'ordre dans lequel interviennent les éléments est-il important ?
Q2 : Les éléments peuvent-ils être égaux ?

Selon la réponse à ces deux questions, les outils différent  pour dénombrer.

Répondre à ces deux questions dans les cas cités dans le tableau.


Le cas le plus simple étant celui où l'ordre est important. On utilise alors un arbre logique

elt 1 elt2 elt3 …




n₁     n₂    n₃     ....     total n₁.n₂.n₃..... …


Le dénombrement est alors très simple

Combien de n° de téléphone ?, combien de mains dans un jeu de poker ?, combien de combinaisons de tiercés avec 15 chevaux au départ ?

Lorsque l'ordre n'est pas important, il ya lieu d'employer le principe de regroupement .

On regroupe les objets ordonnés pour décrire l'objet désordonné

Le berger compte toutes les pattes qu'il voit   ---- N
Le berger compte les pattes d'un mouton ---- N_1

Le berger conclut qu'il a n = N/N_1   moutons

Combien de poignées de mains avec 19 élèves ?, combien de grilles de loto ?



II /  Les formules pour compter :

A condition de connaitre la fonction factorielle ( ! ), on peut alors employer des formules selon les réponses aux 2 questions.

La fonction factorielle s'applique aux entiers naturels ( n ∊ N )
n ! = n.(n-1).(n-2).(n-3). … .2.1

1 !=1 2 !=2 3 !=6 4 !=24 5 !=120 6 !=720

Par définition 0 !=1


Deux  outils résumés de calculs utiles

A^p_n = n!/(n-p)! C^p_n = ( ⁿ_p  ) = n!/(p!.(n-p)!)



Les objets que l'on veut dénombrer sont constitués de n éléments et ces éléments sont choisis dans un ensemble de p termes

Ordre ?

Egaux ?                     Avec ordre                   Sans ordre

Eléments distincts           A^p_n                        C^p_n

Eléments égaux                 p^n                      Cas impossible


III / Le tableau à deux entrées :

La répartition d'une population selon certains critères se fait très facilement avec un tableau lorsqu'il n'y a que deux critères.

niveau terminal, je crois qu'il y a un tableau qu'on donne en classe pour résumer un peu le tout

Tirages	Avec Remise (Avec répétition)	Sans Remise (Sans répétition)
Successifs	p_uplet (ou p_liste):	Arrangement: mais si p=n, on parle de permutation:
Simultanés		Combinaison:

Tout d'abord, merci pour vos réponses.
@Petitete: En fait, nous avons fait des exercices en classe pendant 1h mais on a eu aucun cours dessus ( et visiblement, on en aura pas, car nous avons terminé les probabilités en début de semaine et nous sommes passés à autre chose sans une seule trace d'un cours sur le dénombrement ). Donc du coup, je ne sais jamais quand utiliser la bonne méthode.
Quelle est la différence entre Ap/n et Cp/n ?
n correspond au nombre d'éléments et p à quoi ?
Désolée de vous demander tout ça, mais je n'ai strictement aucun matériel.

Ah non, je n'ai rien dit, je n'avais pas fait attention qu'on avait (n-p)! pour A et (n-p)!p! pour C.

p c'est le nombre d'éléments que tu tires!
n c'est le nombre d'éléments sur lequel tu fais le tirage!

Exemple: Une urne contient 5 boules! on tire simultanément 2 boules!
donc n=5 et p=2

le nombre de tirages possible est

Pour faire un peu la correspondance entre le tableau de GGenn et le mien!

Successif c'est comme Avec Ordre

Simultané c'est comme Sans Ordre



Sans remise c'est dans le même sens que Eléments distincts

Avec remise c'est dans le même sens que Eléments égaux

D'accord, merci. Auriez-vous un exemple où il faut utiliser A ?

je vais compliquer plutôt la chose! Tu vas devoir trouver la partie où il y a le A par toi même

Une association de 10 personnes décident de créer un bureau. Il y a trois postes disponibles (Président, Secrétaire, Trésorier). Quel est le nombre de bureau possible que l'on peut faire si:

1) On suppose qu'il peut y avoir accumulation de poste (c'est-à-dire qu'une personne peut avoir à la fois 2 ou 3 postes à elle seule.)

2) On suppose qu'il n'y a pas d'accumulation de poste (c'est-à-dire qu'une personne ne peut pas avoir à la fois 2 à elle seule.)

pour rester dans l'urne!

Exemple: Une urne contient 5 boules! on tire une boule, on note son numéro et sans la remettre dans l'urne, on tire une autre boule dont on note aussi numéro!
donc n=5 et p=2

Tirages successifs (avec ordre), sans remise => Arrangements!!

le nombre de tirages possible est